Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
2 \sqrt{3}(3 \sqrt{5}-2 \sqrt{20}-\sqrt{45})

Passo 1

O enunciado pede que eu efetue a operação
2\sqrt{3}\bigl(3\sqrt{5}-2\sqrt{20}-\sqrt{45}\bigr).
Informações relevantes dadas:
\text{Expressão inicial: }2\sqrt{3}\bigl(3\sqrt{5}-2\sqrt{20}-\sqrt{45}\bigr).ã
O objetivo é simplificar essa expressão numérica envolvendo radicais até obter uma forma mais simples (combinar termos semelhantes e multiplicar).

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar as raízes que têm fatores quadrados perfeitos. Regra usada: se um inteiro positivo pode ser escrito como m^2 n com m inteiro, então
\sqrt{m^2 n}=m\sqrt{n}.
Aplicando isso a \sqrt{20} e \sqrt{45}.

Passo 3

Simplifico \sqrt{20}. Note que 20=4\cdot5 e 4 é um quadrado perfeito ( 4=2^2), logo
\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Simplifico \sqrt{45}. Note que 45=9\cdot5 e 9 é um quadrado perfeito ( 9=3^2), logo
\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}.

Passo 5

Substituo essas simplificações na expressão original:
2\sqrt{3}\bigl(3\sqrt{5}-2\sqrt{20}-\sqrt{45}\bigr) =2\sqrt{3}\bigl(3\sqrt{5}-2(2\sqrt{5})-3\sqrt{5}\bigr).

Passo 6

Faço a multiplicação dos coeficientes dentro dos parênteses e identifico termos semelhantes. Regra usada: a\sqrt{r}+b\sqrt{r}=(a+b)\sqrt{r}, ou seja, só podemos combinar radicais que têm a mesma parte sob a raiz.
3\sqrt{5}-2(2\sqrt{5})-3\sqrt{5}=3\sqrt{5}-4\sqrt{5}-3\sqrt{5}.

Passo 7

Agora somo os coeficientes dos \sqrt{5}:
3-4-3=-4,
portanto
3\sqrt{5}-4\sqrt{5}-3\sqrt{5}=-4\sqrt{5}.

Passo 8

Substituo esse resultado na expressão externa:
2\sqrt{3}\bigl(-4\sqrt{5}\bigr).

Passo 9

Multiplico os coeficientes e uso a regra \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} (válida para a,b\ge0):
2\cdot(-4)\cdot\sqrt{3}\sqrt{5}=-8\sqrt{15}.

Passo 10

Verifico se \sqrt{15} pode ser simplificada: 15=3\cdot5 não contém quadrado perfeito maior que 1, então \sqrt{15} já está na forma mais simples. Logo o resultado final é
-8\sqrt{15}.

Resposta

-8\sqrt{15}

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