Exercício 3: Simplifique as expressões.
Passo 1
Nesse exercício a gente precisa simplificar a expressão
(\frac{\frac{a}{x} - \frac{x}{a}}{1 + \frac{a}{x}})
é um problema de frações algébricas: vamos usar soma e subtração de frações, divisão de frações e fatoração para chegar na forma mais simples.
(\frac{\frac{a}{x} - \frac{x}{a}}{1 + \frac{a}{x}})
é um problema de frações algébricas: vamos usar soma e subtração de frações, divisão de frações e fatoração para chegar na forma mais simples.
Passo 2
Para simplificar o numerador, a gente faz a subtração de
e
combinando em uma única fração:
[\frac{a}{x} - \frac{x}{a} = \frac{a^2 - x^2}{ax}]
Aqui usamos o MMC
como denominador comum e reescrevemos cada termo, depois subtraímos os numeradores.
Passo 3
Para simplificar o denominador, a gente soma
e
. Primeiro escrevemos
como
e depois juntamos:
[1 + \frac{a}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{x + a}{x}]
Assim ficou uma única fração no denominador.
Passo 4
Agora temos uma divisão de frações. Lembra que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Então:
[\frac{\frac{a^2 - x^2}{ax}}{\frac{x + a}{x}} = \frac{a^2 - x^2}{ax} \cdot \frac{x}{x + a}]
Nesse passo aplicamos a regra de divisão de frações.
Passo 5
Para finalizar, observamos que
é uma diferença de quadrados e fatoramos:
[\frac{(a - x)(a + x)}{ax} \cdot \frac{x}{x + a}]
Como
, cancelamos esse fator e também o
no numerador com o
que faz parte de
, sobrando:
[\frac{a - x}{a}].