Exercício 3: Simplifique as expressões.
ax-xa1+ax

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa simplificar a expressão
(\frac{\frac{a}{x} - \frac{x}{a}}{1 + \frac{a}{x}})
é um problema de frações algébricas: vamos usar soma e subtração de frações, divisão de frações e fatoração para chegar na forma mais simples.

Passo 2

Para simplificar o numerador, a gente faz a subtração de ax e xa combinando em uma única fração:
[\frac{a}{x} - \frac{x}{a} = \frac{a^2 - x^2}{ax}]
Aqui usamos o MMC ax como denominador comum e reescrevemos cada termo, depois subtraímos os numeradores.

Passo 3

Para simplificar o denominador, a gente soma 1 e ax. Primeiro escrevemos 1 como xx e depois juntamos:
[1 + \frac{a}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a}{x} = \frac{x + a}{x}]
Assim ficou uma única fração no denominador.

Passo 4

Agora temos uma divisão de frações. Lembra que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso. Então:
[\frac{\frac{a^2 - x^2}{ax}}{\frac{x + a}{x}} = \frac{a^2 - x^2}{ax} \cdot \frac{x}{x + a}]
Nesse passo aplicamos a regra de divisão de frações.

Passo 5

Para finalizar, observamos que a^2 - x^2 é uma diferença de quadrados e fatoramos:
[\frac{(a - x)(a + x)}{ax} \cdot \frac{x}{x + a}]
Como a + x = x + a, cancelamos esse fator e também o x no numerador com o x que faz parte de ax, sobrando:
[\frac{a - x}{a}].

Resposta

a - xa

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