Seja a função f(x)=32 x-x(1-x)4. Determine o intervalo em que f(x) é:
Decrescente.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo em que a função f(x)=\frac{3}{2}x-\frac{x(1-x)}{4} é decrescente. O tema é monotonicidade e vamos precisar calcular a derivada e estudar seu sinal.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f(x) combinando termos sobre um denominador comum. Escrevendo tudo em quarto:
f(x)=6x4-x - x^24=x^2+5x4

Passo 3

Agora calculamos a derivada f’(x). Como f(x)=tfrac14(x^2+5x), temos
f'(x)=14(2x+5)=2x+54

Passo 4

Para encontrar onde f é decrescente, impomos f’(x)<0. Logo,
2x+54<0
Isso equivale a resolver 2x+5<0, pois dividir por 4 (positivo) não inverte o sinal.

Passo 5

Resolvendo 2x+5<0 temos x< -5/2. Portanto, f’(x) é negativa para x< -5/2, e a função é decrescente nesse intervalo.

Resposta

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