A tabela abaixo dá o número de matrículas de uma certa universidade no período de 10 anos.
Use a taxa de variação e um ponto determinado pelo ano (t=0 representa o ano de 1990) e pelo número de alunos matriculados para determinar a equação linear que modela estes dados.
Ano 1990 1992 1994 1996 1998 2000
t anos 0 2 4 6 8 10
Números de alunos matriculados 3546 3556 3566 3576 3586 3596

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação linear que modela o número de matrículas de uma universidade ao longo de 10 anos, usando a taxa de variação e um ponto específico. Vamos usar conceitos de funções lineares e entender como calcular a taxa de variação e a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função linear tem a forma $ N(t) = mt + b $, onde:
  • $ N(t) $ é o número de alunos matriculados no tempo $ t $.
  • $ m $ é a taxa de variação, ou seja, quanto o número de alunos muda por ano.
  • $ b $ é o valor inicial, o número de alunos no tempo $ t = 0 $.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar os valores de $ m $ e $ b $. Vamos começar calculando a taxa de variação $ m $. Para isso, escolhemos dois pontos da tabela e aplicamos a fórmula da inclinação:
m
Vamos usar os pontos $ (t_1, N_1) = (0, 3546) $ e $ (t_2, N_2) = (2, 3556) $.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
m = 3556 - 35462 - 0 = 102 = 5
Então, a taxa de variação $ m $ é 5 alunos por ano. Isso significa que, a cada ano, o número de matriculados aumenta em 5.

Passo 5

Agora que temos $ m = 5 $, vamos encontrar $ b $. Sabemos que quando $ t = 0 $, o número de alunos é 3546. Substituindo esses valores na equação $ N(t) = mt + b $:
m = 5
b
t = 0
Então, $ b $ é 3546, o número de alunos no ano base (1990).

Resposta

A equação linear que modela o número de matrículas é:
N(t) = 5t + 3546
onde $ t $ representa os anos desde 1990.

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