A tabela abaixo dá o número de matrículas de uma certa universidade no período de 10 anos.
Use a taxa de variação e um ponto determinado pelo ano
representa o ano de 1990) e pelo número de alunos matriculados para determinar a equação linear que modela estes dados.
Use a taxa de variação e um ponto determinado pelo ano
Ano | 1990 | 1992 | 1994 | 1996 | 1998 | 2000 |
---|---|---|---|---|---|---|
t anos | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Números de alunos matriculados | 3546 | 3556 | 3566 | 3576 | 3586 | 3596 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação linear que modela o número de matrículas de uma universidade ao longo de 10 anos, usando a taxa de variação e um ponto específico. Vamos usar conceitos de funções lineares e entender como calcular a taxa de variação e a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função linear tem a forma $ N(t) = mt + b $, onde:
- $ N(t) $ é o número de alunos matriculados no tempo $ t $.
- $ m $ é a taxa de variação, ou seja, quanto o número de alunos muda por ano.
- $ b $ é o valor inicial, o número de alunos no tempo $ t = 0 $.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ m $ e $ b $. Vamos começar calculando a taxa de variação $ m $. Para isso, escolhemos dois pontos da tabela e aplicamos a fórmula da inclinação:
Vamos usar os pontos $ (t_1, N_1) = (0, 3546) $ e $ (t_2, N_2) = (2, 3556) $.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a taxa de variação $ m $ é 5 alunos por ano. Isso significa que, a cada ano, o número de matriculados aumenta em 5.
Passo 5
Agora que temos $ m = 5 $, vamos encontrar $ b $. Sabemos que quando $ t = 0 $, o número de alunos é 3546. Substituindo esses valores na equação $ N(t) = mt + b $:
Então, $ b $ é 3546, o número de alunos no ano base (1990).
Resposta
A equação linear que modela o número de matrículas é:
onde $ t $ representa os anos desde 1990.