Exercício 4. Um sistema de comunicação envia bits (0 ou 1). Devido a ruído no canal, cada bit tem uma probabilidade de p = 0.01 de ser recebido com erro. Se uma mensagem de 100 bits é enviada, qual a probabilidade de que exatamente 2 bits estejam errados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Probabilidade de erro em cada bit:
. - Tamanho da mensagem:
bits. - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 2 bits estejam errados?
Essas são todas as informações relevantes que usaremos.
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática, sem pressa): cada bit enviado é uma tentativa que pode resultar em “erro” (com probabilidade
) ou “não erro” (com probabilidade
). Como o enunciado diz que o ruído age independentemente em cada bit, podemos ver a contagem de erros em
bits como uma variável que conta quantos “sucessos” (aqui “sucessos” = erros) ocorrem em
tentativas independentes com mesma probabilidade
.
Para esse tipo de situação usamos a fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente
erros em
tentativas:
Agora eu explico o que cada símbolo significa com calma:
-
é a variável aleatória que conta o número de bits errados. -
é o número de tentativas (aqui ). -
é o número de erros que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de erro em uma única tentativa (aqui ). -
é o número de formas distintas de escolher quais bits, entre os , estarão errados (combinações). Ele surge porque, por exemplo, ter erro nos bits 1 e 2 é diferente, do ponto de vista de posição, de ter erro nos bits 1 e 3; a fórmula conta todas essas possibilidades.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com os valores do enunciado. Substituindo
,
e
:
Agora explico como calcular cada parte passo a passo para você poder fazer na prova sem mistério.
Passo 4
Calcular
. Há uma fórmula geral
mas para
dá para simplificar muito:
Ótimo — já temos o fator combinatório.
Calcular
:
Então até agora temos:
Note que
. Logo
Passo 5
Agora precisamos estimar
. Uma forma prática e precisa sem calculadora é usar logaritmos/exponencial ou uma aproximação útil:
. Multiplicando por
obtemos
portanto
Multiplicando com
:
Eu sei que essa conta com exponenciais parece meio técnica, então uma alternativa mental rápida que os professores adoram: usar a aproximação de Poisson quando
é grande e
é pequeno. Aqui
. A aproximação diz
que fica bem próximo do valor exato
. Isso confirma que nosso cálculo está coerente.
Passo 6
Resumo final do raciocínio (como você faria rapidamente na prova):
- Reconhece que o número de erros segue a fórmula binomial.
- Usa
. - Monta a expressão
. - Calcula
e estima . - Multiplica para obter
.
Força aí — você já sabe o passo a passo, a fórmula e até uma aproximação rápida com Poisson para conferir.