Exercício 4. Um sistema de comunicação envia bits (0 ou 1). Devido a ruído no canal, cada bit tem uma probabilidade de p = 0.01 de ser recebido com erro. Se uma mensagem de 100 bits é enviada, qual a probabilidade de que exatamente 2 bits estejam errados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de erro em cada bit: p = 0,01.
  • Tamanho da mensagem: n = 100 bits.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente 2 bits estejam errados?
Essas são todas as informações relevantes que usaremos.

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática, sem pressa): cada bit enviado é uma tentativa que pode resultar em “erro” (com probabilidade p) ou “não erro” (com probabilidade 1-p). Como o enunciado diz que o ruído age independentemente em cada bit, podemos ver a contagem de erros em n bits como uma variável que conta quantos “sucessos” (aqui “sucessos” = erros) ocorrem em n tentativas independentes com mesma probabilidade p.
Para esse tipo de situação usamos a fórmula que dá a probabilidade de ocorrer exatamente k erros em n tentativas:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
Agora eu explico o que cada símbolo significa com calma:
  • X é a variável aleatória que conta o número de bits errados.
  • n é o número de tentativas (aqui n=100).
  • k é o número de erros que queremos (aqui k=2).
  • p é a probabilidade de erro em uma única tentativa (aqui p=0,01).
  • \binom{n}{k} é o número de formas distintas de escolher quais k bits, entre os n, estarão errados (combinações). Ele surge porque, por exemplo, ter erro nos bits 1 e 2 é diferente, do ponto de vista de posição, de ter erro nos bits 1 e 3; a fórmula conta todas essas possibilidades.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores do enunciado. Substituindo n=100, k=2 e p=0,01:
P(X=2)=\binom{100}{2}\,(0,01)^{2}\,(0,99)^{98}.
Agora explico como calcular cada parte passo a passo para você poder fazer na prova sem mistério.

Passo 4

Calcular \binom{100}{2}. Há uma fórmula geral
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
mas para k=2 dá para simplificar muito:
\binom{100}{2}=\frac{100\cdot 99}{2}=50\cdot 99=4950.
Ótimo — já temos o fator combinatório.
Calcular p^2:
(0,01)^2 = 0,0001.
Então até agora temos:
P(X=2)=4950\cdot 0,0001\cdot (0,99)^{98}.
Note que 4950\cdot 0,0001 = 0,495. Logo
P(X=2)=0,495\cdot (0,99)^{98}.

Passo 5

Agora precisamos estimar (0,99)^{98}. Uma forma prática e precisa sem calculadora é usar logaritmos/exponencial ou uma aproximação útil: \ln(0,99)\approx -0,01005033585. Multiplicando por 98 obtemos
98\ln(0,99)\approx -0,9849329,
portanto
(0,99)^{98}=e^{98\ln(0,99)}\approx e^{-0,9849329}\approx 0,37365\quad(\text{aproximação}).çã
Multiplicando com 0,495:
P(X=2)\approx 0,495\cdot 0,37365 \approx 0,18495.
Eu sei que essa conta com exponenciais parece meio técnica, então uma alternativa mental rápida que os professores adoram: usar a aproximação de Poisson quando n é grande e p é pequeno. Aqui \lambda = np = 100\cdot 0,01 = 1. A aproximação diz
P(X=2)\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^{2}}{2!}=e^{-1}\frac{1}{2}\approx 0,18394,
que fica bem próximo do valor exato 0,18495. Isso confirma que nosso cálculo está coerente.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (como você faria rapidamente na prova):
  1. Reconhece que o número de erros segue a fórmula binomial.
  2. Usa \binom{100}{2}=4950.
  3. Monta a expressão \;4950(0,01)^{2}(0,99)^{98}.
  4. Calcula 4950\cdot 0,0001=0,495 e estima (0,99)^{98}\approx 0,37365.
  5. Multiplica para obter P(X=2)\approx 0,18495.
Força aí — você já sabe o passo a passo, a fórmula e até uma aproximação rápida com Poisson para conferir.

Resposta

0,18495

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