Exercício 6. Um físico realiza um experimento para detectar uma partícula rara. A probabilidade de detectar a partícula em qualquer tentativa é
. Qual é a probabilidade de que a primeira detecção ocorra na
tentativa? Qual o número esperado de tentativas até a primeira detecção?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que a probabilidade de sucesso (detectar a partícula) em cada tentativa é
. Pergunta-se:
- Qual é a probabilidade de que a primeira detecção ocorra na
tentativa? - Qual é o número esperado de tentativas até a primeira detecção?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso
. - Queremos a probabilidade do evento "primeiro sucesso exatamente na tentativa
". - Queremos o valor esperado do número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 2
Modelo e fórmula fundamental (explicação didática).
- Definimos a variável aleatória
como “o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso”. - Para que o primeiro sucesso ocorra em
(por exemplo ), é preciso que nas primeiras tentativas tenhamos falhas e, na -ésima, um sucesso. - A probabilidade de falha em uma tentativa é
. Como as tentativas são independentes, a probabilidade de ter falhas seguidas é . - Multiplicando pela probabilidade de sucesso na tentativa
, obtemos a função massa de probabilidade (pmf) da distribuição geométrica (no formato “número de tentativas até o primeiro sucesso”):
- Cheque rápido com exemplos pequenos para entender: para
a fórmula dá (sucesso já na primeira tentativa). Para dá (falha, depois sucesso).
Passo 3
Calcular a probabilidade de a primeira detecção ocorrer na
tentativa.
- Aplicando a fórmula com
e :
- Agora aproximamos
de maneira que dê para fazer “na prova” sem calculadora, usando a expansão de para pequeno: - Para
temos . Esta aproximação usa os dois primeiros termos da série de Taylor de . - Multiplicando por
: . - Então
. - Podemos aproximar
. Sabendo que e que pequenas diferenças ajustam pouco, tomamos (essa é uma aproximação razoável com as expansões usuais).
- Para
- Finalmente:
- Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Passo 4
Cálculo do número esperado de tentativas até a primeira detecção (explicação passo a passo).
- Queremos
, com distribuída geometricamente conforme a pmf acima. - Escrevemos a soma do valor esperado:
- Para simplificar essa soma, usamos um resultado padrão sobre séries geométricas. Defina
. Considere a série geométrica
- Diferenciando ambos os lados em relação a
(isso é uma técnica comum; a diferenciação troca potências por coeficientes ):
- Observe que a soma que aparece em
é exatamente . Portanto
- Mas
. Substituindo,
- Assim, para
,
- Interpretação intuitiva: em média (esperança), precisa-se de
tentativas para obter a primeira detecção quando cada tentativa tem probabilidade de sucesso.