Exercício 6. Um físico realiza um experimento para detectar uma partícula rara. A probabilidade de detectar a partícula em qualquer tentativa é p=0,02. Qual é a probabilidade de que a primeira detecção ocorra na 20^{\text {a }} tentativa? Qual o número esperado de tentativas até a primeira detecção?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que a probabilidade de sucesso (detectar a partícula) em cada tentativa é p=0,02. Pergunta-se:
  1. Qual é a probabilidade de que a primeira detecção ocorra na 20^{\text{a}} tentativa?
  2. Qual é o número esperado de tentativas até a primeira detecção?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada tentativa é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso p=0,02.
  • Queremos a probabilidade do evento "primeiro sucesso exatamente na tentativa 20".
  • Queremos o valor esperado do número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 2

Modelo e fórmula fundamental (explicação didática).
  • Definimos a variável aleatória X como “o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso”.
  • Para que o primeiro sucesso ocorra em k (por exemplo k=20), é preciso que nas primeiras k-1 tentativas tenhamos falhas e, na k-ésima, um sucesso.
  • A probabilidade de falha em uma tentativa é 1-p. Como as tentativas são independentes, a probabilidade de ter k-1 falhas seguidas é (1-p)^{k-1}.
  • Multiplicando pela probabilidade de sucesso na tentativa k, obtemos a função massa de probabilidade (pmf) da distribuição geométrica (no formato “número de tentativas até o primeiro sucesso”):
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p.
  • Cheque rápido com exemplos pequenos para entender: para k=1 a fórmula dá P(X=1)=p (sucesso já na primeira tentativa). Para k=2 P(X=2)=(1-p)p (falha, depois sucesso).

Passo 3

Calcular a probabilidade de a primeira detecção ocorrer na 20^{\text{a}} tentativa.
  • Aplicando a fórmula com k=20 e p=0,02:
P(X=20)=(1-0,02)^{20-1}\cdot 0,02=(0,98)^{19}\cdot 0,02.
  • Agora aproximamos (0,98)^{19} de maneira que dê para fazer “na prova” sem calculadora, usando a expansão de \ln(1-x) para x pequeno:
    • Para x=0,02 temos \ln(0,98)=\ln(1-0,02)\approx -0,02-\dfrac{(0,02)^2}{2}=-0,02-0,0002=-0,0202. Esta aproximação usa os dois primeiros termos da série de Taylor de \ln(1-x).
    • Multiplicando por 19: 19\ln(0,98)\approx 19(-0,0202)=-0,3838.
    • Então (0,98)^{19}=e^{19\ln(0,98)}\approx e^{-0,3838}.
    • Podemos aproximar e^{-0,3838}. Sabendo que e^{-0,38}\approx 0,684 e que pequenas diferenças ajustam pouco, tomamos e^{-0,3838}\approx 0,6816 (essa é uma aproximação razoável com as expansões usuais).
  • Finalmente:
P(X=20)\approx 0,6816\cdot 0,02=0,013632.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 1,36\%.

Passo 4

Cálculo do número esperado de tentativas até a primeira detecção (explicação passo a passo).
  • Queremos E[X], com X distribuída geometricamente conforme a pmf acima.
  • Escrevemos a soma do valor esperado:
E[X]=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p.
  • Para simplificar essa soma, usamos um resultado padrão sobre séries geométricas. Defina q=1-p. Considere a série geométrica
S(q)=\sum_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q},\quad\text{para }|q|<1.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a q (isso é uma técnica comum; a diferenciação troca potências por coeficientes k):
S'(q)=\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}.
  • Observe que a soma que aparece em E[X] é exatamente \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}. Portanto
E[X]=p\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}.
  • Mas 1-q=1-(1-p)=p. Substituindo,
E[X]=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.
  • Assim, para p=0,02,
E[X]=\frac{1}{0,02}=50.
  • Interpretação intuitiva: em média (esperança), precisa-se de 50 tentativas para obter a primeira detecção quando cada tentativa tem probabilidade 0,02 de sucesso.

Resposta

P(X=20)=(0,98)^{19}\cdot 0,02\approx 0,013632 (aprox. 1,36\%)
E[X]=\dfrac{1}{0,02}=50

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