Exercício 3. Um elétron é colocado em um estado quântico que, ao ser medido, pode resultar em “spin up” (sucesso) com probabilidade
ou “spin down” (fracasso). Defina a variável aleatória de Bernoulli e calcule seu valor esperado e desvio padrão.
Passo 1
O enunciado diz que um elétron, ao ser medido, dá “spin up” (sucesso) com probabilidade
e “spin down” (fracasso) com probabilidade complementar. O que o exercício pede:
- Definir a variável aleatória de Bernoulli associada a essa medição.
- Calcular o valor esperado dessa variável.
- Calcular o desvio padrão dessa variável.
Informações relevantes dadas:. Não foi dada nenhuma outra informação, e podemos assumir que um único ensaio segue a distribuição de Bernoulli com parâmetro .
Passo 2
O que é a variável aleatória de Bernoulli aqui (definição concreta e intuitiva): escolhemos uma variável
A razão de usar
é prática: facilita calcular médias e variâncias. As probabilidades associadas são
No problema dado temos
, então explicitamente
e
.]
Passo 3
Fórmula do valor esperado (intuição e uso): para qualquer variável discreta, o valor esperado é a soma dos valores possíveis vezes suas probabilidades. Para
isso é
Aplicando aos dois valores de
:
Portanto, teoricamente
. Substituindo o valor dado:
Interpretação intuitiva: se repetíssemos essa medição muitas vezes, a fração média de vezes que obteríamos “spin up” seria cerca de
(ou
). Por exemplo, em 10 medidas esperaríamos cerca de
spins-up.
Passo 4
Fórmula da variância (motivo e cálculo): a variância mede a dispersão em torno da média e é definida por
Uma forma prática de calcular é usar
Para uma variável Bernoulli
temos a propriedade útil
(porque
e
). Assim
. Logo
Substituindo
:
Interpretação: a variância é
, que é a média do quadrado do desvio em relação à média.
Passo 5
Desvio padrão (definição, cálculo passo a passo e arredondamento): o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Com
temos
Para obter um valor numérico aproximado:
. Como
, obtemos
(arredondando com quatro casas para facilitar). Interpretação: em unidades da própria variável (que só vale 0 ou 1), o desvio padrão mede quão “espalhados” estão os resultados em torno da média
.
Passo 6
Resumo prático e dica de prova: para qualquer ensaio com duas possibilidades considerada “sucesso” com probabilidade
,
- defina a Bernoulli como
com ; - memorização útil:
e ; - desvio padrão é
.
Isso resolve rapidamente questões semelhantes na prova: basta identificar, substituir e calcular.