Exercício 3. Um elétron é colocado em um estado quântico que, ao ser medido, pode resultar em “spin up” (sucesso) com probabilidade \mathrm{p}=0.7 ou “spin down” (fracasso). Defina a variável aleatória de Bernoulli e calcule seu valor esperado e desvio padrão.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron, ao ser medido, dá “spin up” (sucesso) com probabilidade \mathrm{p}=0,7 e “spin down” (fracasso) com probabilidade complementar. O que o exercício pede:
  1. Definir a variável aleatória de Bernoulli associada a essa medição.
  2. Calcular o valor esperado dessa variável.
  3. Calcular o desvio padrão dessa variável.
    Informações relevantes dadas: \mathrm{p}=0,7. Não foi dada nenhuma outra informação, e podemos assumir que um único ensaio segue a distribuição de Bernoulli com parâmetro \mathrm{p}.

Passo 2

O que é a variável aleatória de Bernoulli aqui (definição concreta e intuitiva): escolhemos uma variável X\) que registra o resultado da medição como número: \[X = \begin{cases} 1, & \text{se sair "spin up" (sucesso)},\\[4pt] 0, & \text{se sair "spin down" (fracasso)}. \end{cases}
A razão de usar 0\] e \(1 é prática: facilita calcular médias e variâncias. As probabilidades associadas são
P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p.
No problema dado temos p=0,7, então explicitamente P(X=1)=0,7 e P(X=0)=0,3.]

Passo 3

Fórmula do valor esperado (intuição e uso): para qualquer variável discreta, o valor esperado é a soma dos valores possíveis vezes suas probabilidades. Para X isso é
E(X)=\sum_x x\,P(X=x).
Aplicando aos dois valores de X:
E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p.
Portanto, teoricamente E(X)=p. Substituindo o valor dado:
E(X)=0,7.
Interpretação intuitiva: se repetíssemos essa medição muitas vezes, a fração média de vezes que obteríamos “spin up” seria cerca de 0,7 (ou 70\%). Por exemplo, em 10 medidas esperaríamos cerca de 7 spins-up.

Passo 4

Fórmula da variância (motivo e cálculo): a variância mede a dispersão em torno da média e é definida por
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E(X))^{2}\big].
Uma forma prática de calcular é usar
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Para uma variável Bernoulli X\in\{0,1\} temos a propriedade útil X^{2}=X (porque 0^{2}=0 e 1^{2}=1). Assim E(X^{2})=E(X)=p. Logo
\operatorname{Var}(X)=p - p^{2}=p(1-p).
Substituindo p=0,7:
\operatorname{Var}(X)=0,7\cdot(1-0,7)=0,7\cdot 0,3=0,21.
Interpretação: a variância é 0,21, que é a média do quadrado do desvio em relação à média.

Passo 5

Desvio padrão (definição, cálculo passo a passo e arredondamento): o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{p(1-p)}.
Com p=0,7 temos
\sigma_X=\sqrt{0,21}.
Para obter um valor numérico aproximado: \sqrt{0,21}=\sqrt{21}\times 0,1. Como \sqrt{21}\approx 4,5825757, obtemos
\sigma_X\approx 0,45825757\approx 0,4583
(arredondando com quatro casas para facilitar). Interpretação: em unidades da própria variável (que só vale 0 ou 1), o desvio padrão mede quão “espalhados” estão os resultados em torno da média 0,7.

Passo 6

Resumo prático e dica de prova: para qualquer ensaio com duas possibilidades considerada “sucesso” com probabilidade p,
  • defina a Bernoulli como X\in\{0,1\} com P(X=1)=p;
  • memorização útil: E(X)=p e \operatorname{Var}(X)=p(1-p);
  • desvio padrão é \sqrt{p(1-p)}.
    Isso resolve rapidamente questões semelhantes na prova: basta identificar p, substituir e calcular.

Resposta

X é uma variável de Bernoulli com P(X=1)=0,7 e P(X=0)=0,3.
E(X)=0,7.
\sigma_X=\sqrt{0,21}\approx 0,4583.

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