Exercício 4.

Um sistema trifásico com sequência de fase ABC , a três fios, possui uma tensão de linha de V_{B C}=311,1 \measuredangle 0^{\circ} V. As correntes de linha são: I_{A}=61,5 \measuredangle 116,6^{\circ} A, I_{B}=61,2 \measuredangle-48^{\circ} A I_{C}=16,1 \measuredangle 218^{\circ} A. Determine as leituras dos Wattímetros inseridos nas linhas B e C.

Passo 1

O enunciado pede as leituras dos wattímetros inseridos nas linhas B e C de um sistema trifásico a três fios (sequência de fase ABC). Dados fornecidos:
V_{BC}=311{,}1\angle 0^\circ\\ \text{V}
I_A=61{,}5\angle 116{,}6^\circ\\ \text{A},\qquad I_B=61{,}2\angle -48^\circ\\ \text{A},\qquad I_C=16{,}1\angle 218^\circ\\ \text{A}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Qual a leitura do wattímetro inserido na linha B?
  • Qual a leitura do wattímetro inserido na linha C?

Passo 2

Entender o que mede cada wattímetro (explicação didática e regra usada).
Um wattímetro que tem sua bobina de corrente na linha X e sua bobina de tensão conectada entre as fases X e Y mede a potência instantânea média dada pelo produto complexo entre a tensão de bobina e a conjugada da corrente:
P = \Re\{V_{XY}\,I_X^{*}\}.
Aqui \Re\{\cdot\} significa “parte real de”, e I_X^{*} é o conjugado complexo da corrente em X (se I_X=I\angle\theta, então I_X^{*}=I\angle(-\theta)). Vamos assumir a configuração usual do método dos dois wattímetros em que:
  • o wattímetro em B tem tensão de bobina V_{BC} e corrente I_B, logo
P_B=\Re\{V_{BC}\,I_B^{*}\},
  • o wattímetro em C tem tensão de bobina V_{CA} e corrente I_C, logo
P_C=\Re\{V_{CA}\,I_C^{*}\}.

Passo 3

Determinar V_{CA} a partir de V_{BC} usando a sequência de fases ABC (explicação didática).
Para sequência ABC vale a relação entre as tensões de linha:
V_{BC}+V_{CA}+V_{AB}=0.
Uma forma direta (vista com base nas tensões de fase padrão) é que, para sequência ABC,
V_{CA}=V_{BC}\angle -120^\circ.
Portanto, usando o dado do enunciado:
V_{CA}=311{,}1\angle -120^\circ\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular os conjugados das correntes (explicação didática).
Conjugado inverte o sinal do ângulo:
I_B^{*}=61{,}2\angle +48^\circ, \qquad I_C^{*}=16{,}1\angle -218^\circ.
Nota: -218^\circ é equivalente a 142^\circ (somando 360^\circ), então podemos usar
I_C^{*}=16{,}1\angle 142^\circ.

Passo 5

Calcular o produto complexo para o wattímetro em B (passo a passo).
V_{BC}\,I_B^{*}=311{,}1\angle 0^\circ \times 61{,}2\angle 48^\circ =19039{,}32\angle 48^\circ
(foi usado 311{,}1\times 61{,}2=19039{,}32). A leitura do wattímetro é a parte real desse produto:
P_B=\Re\{19039{,}32\angle 48^\circ\}=19039{,}32\cos 48^\circ.
Usando \cos 48^\circ\approx 0{,}669130606,
P_B\approx 19039{,}32\times 0{,}669130606 \approx 12739{,}79\\ \text{W}.

Passo 6

Calcular o produto complexo para o wattímetro em C (passo a passo).
V_{CA}\,I_C^{*}=311{,}1\angle -120^\circ \times 16{,}1\angle 142^\circ =5008{,}71\angle 22^\circ
(foi usado 311{,}1\times 16{,}1=5008{,}71 e ângulo -120^\circ+142^\circ=22^\circ). A leitura do wattímetro é a parte real:
P_C=\Re\{5008{,}71\angle 22^\circ\}=5008{,}71\cos 22^\circ.
Usando \cos 22^\circ\approx 0{,}927183855,
P_C\approx 5008{,}71\times 0{,}927183855 \approx 4643{,}99\\ \text{W}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida (didática e encorajamento).
  • Os dois wattímetros deram potências positivas, o que é possível e significa que ambas as conexões estão fornecendo potência ativa ao sistema. A soma P_B+P_C\approx 12739{,}8+4644{,}0\approx 17383{,}8\\ \text{W} seria a potência ativa total medida pelos dois wattímetros (checagem útil em prova).
  • Calculei cada produto fazendo magnitude e soma de ângulos, depois extraí a parte real com cosseno do ângulo do produto — esse é o procedimento padrão e rápido em prova quando se trabalha com fasores.

Resposta

W_B = 12739{,}8\\ \mathrm{W}
W_C = 4643{,}99\\ \mathrm{W}

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