Exercício 3.

Um sistema trifásico em 60 Hz , com tensões V_{a b}, V_{b c} e V_{c a} equilibradas, módulo de 380 V e sequência de fase ABC , alimenta duas cargas trifásicas equilibradas: uma de 2,5 \mathrm{~kW}, com \cos \Phi=0,65 (indutivo) e outra de 6 kVA , com fator de potência 0,8 (capacitivo).
(a) Determinar a leitura em cada um dos dois wattímetros W_{1} e W_{2} conectados ao sistema trifiliar, considerando a fase c como referência para as bobinas de tensão dos wattímetros.
(b) Se medidores de volt-ampère substituem W_{1} e W_{2}, determinar as suas respectivas leituras.
(c) Determinar o fator de potência resultante da carga composta.
(d) Quanto de potência reativa seria necessário para levar o fator de potência do sistema para 0,92 atrasado?

Resposta

a) W_{1}=3454,87 \mathrm{~W} e W_{2}=3845,9 \mathrm{~W}.
b) \left|S_{1}\right|=4233,2 VA e \left|S_{2}\right|=4233,2 VA.
c) f p_{t}=0,9957.
d) Q_{i n d}=j 3789,8 var.

Passo 1

O enunciado dá um sistema trifásico balanceado em 60\\ \mathrm{Hz} com tensões de linha (linhas entre fases) de módulo 380\\ \mathrm{V} e sequência de fase ABC. Há duas cargas trifásicas equilibradas, ligadas em paralelo ao sistema:
\begin{aligned} &\text{Carga 1: }P_1 = 2{,}5\\ \mathrm{kW},\quad \cos\varphi_1 = 0{,}65\\ \text{(indutiva)}.\\\ &\text{Carga 2: }|S_2| = 6\\ \mathrm{kVA},\quad \text{f.p.}=0{,}8\\ \text{(capacitiva).} \end{aligned}
Pede-se:
(a) leituras dos wattímetros W_1 e W_2 conectados pelo método trifilar, com a fase c como referência das bobinas de tensão;
(b) se em lugar dos wattímetros houver medidores de volt-ampère, as leituras correspondentes;
(c) fator de potência resultante da carga composta;
(d) potência reativa que deve ser adicionada para levar o fator de potência do sistema a 0{,}92 atrasado (ou seja, corrigir para fp=0{,}92 com defasagem).
Aqui estão os dados relevantes extraídos do enunciado (todos os números colocados em notação matemática):
\begin{aligned} &V_{LL}=380\\ \mathrm{V},\\\ &P_1=2500\\ \mathrm{W},\\ \cos\varphi_1=0{,}65\\ (\text{indutivo}),\\\ &|S_2|=6000\\ \mathrm{VA},\\ \text{pf}_2=0{,}8\\ (\text{capacitivo}). \end{aligned}

Passo 2

Calcular as potências ativas e reativas de cada carga (a parte teórica: para uma carga trifásica equilibrada, podemos tratar potências totais da carga como somas das potências das três fases; aqui os valores dados já são as potências totais trifásicas).
Carga 1 (indutiva):
P_1 = 2500\\ \mathrm{W},\qquad \cos\varphi_1=0{,}65.
A defasagem \varphi_1 é \varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}65). A potência reativa inductiva total é
Q_1 = P_1\tan\varphi_1.
(Explicação rápida: \tan\varphi = Q/P para potência complexa S=P+jQ.)
Vamos calcular numericamente:
\varphi_1=\operatorname{arccos}(0{,}65)\quad\Rightarrow\quad \tan\varphi_1\approx 1{,}169949,
Q_1 = 2500\cdot 1{,}169949 \approx 2924{,}87\\ \mathrm{var}\quad(\text{indutivo}).
Carga 2 (capacitiva):
|S_2|=6000\\ \mathrm{VA},\quad \text{pf}_2=0{,}8\\ (\text{capacitivo}).
A potência ativa é
P_2 = |S_2|\cdot \text{pf}_2 = 6000\cdot 0{,}8 = 4800\\ \mathrm{W}.
Para a componente reativa: \sin\varphi_2=\sqrt{1-\cos^2\varphi_2}=\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}6. Como é capacitiva, tem sinal negativo:
Q_2 = -|S_2|\sin\varphi_2 = -6000\cdot 0{,}6 = -3600\\ \mathrm{var}.

Passo 3

Calcular a potência total (soma das cargas, pois estão em paralelo num sistema equilibrado):
Potência ativa total:
P_{t}=P_1+P_2=2500+4800=7300\\ \mathrm{W}.
Potência reativa total:
Q_{t}=Q_1+Q_2=2924{,}87-3600 = -675{,}13\\ \mathrm{var}
(negativa indica que, no conjunto, a carga é ligeiramente capacitiva).
A potência aparente total:
|S_t|=\sqrt{P_t^2+Q_t^2}=\sqrt{7300^2+(-675{,}13)^2}\approx 7329{,}54\\ \mathrm{VA}.
O ângulo de potência total é
\varphi_t=\arctan\left(\frac{Q_t}{P_t}\right)=\arctan\left(\frac{-675{,}13}{7300}\right)\approx -5{,}2917^\circ,
logo o fator de potência total é
\text{pf}_t=\cos\varphi_t\approx 0{,}9957.

Passo 4

Explicar o método dos dois wattímetros (teoria necessária para a prova e para a parte (a)):
  • No método trifilar de dois wattímetros, ligam-se as bobinas de corrente em duas fases (por exemplo fases a e b) e as bobinas de tensão entre essas fases e a fase de referência (aqui a fase c). Para cargas trifásicas equilibradas, as leituras individuais (para corrente de fase I igual em cada linha) são:
W_1 = V_{LL}\,I\cos(\varphi_t-30^\circ),\qquad W_2 = V_{LL}\,I\cos(\varphi_t+30^\circ),
onde \varphi_t é o ângulo de potência da carga (positivo para atraso/indutivo, negativo para adiantado/capacitivo), V_{LL} é a tensão de linha ( 380\\ \mathrm{V}) e I é a corrente de linha. A soma satisfaz
W_1+W_2 = \sqrt{3}\,V_{LL}\,I\cos\varphi_t = P_t,
ou seja, as leituras somadas dão a potência ativa total.
(Comentário didático: a fórmula vem do deslocamento angular entre as tensões de linha e correntes em sistema balanceado; os 30^\circ aparecem porque as tensões de linha estão defasadas 30^\circ em relação às tensões de fase.)

Passo 5

Calcular a corrente de linha I do conjunto (usando P_t=\sqrt{3}V_{LL}I\cos\varphi_t):
I=\frac{P_t}{\sqrt{3}\;V_{LL}\;\cos\varphi_t}.
Substituindo números:
\sqrt{3}\,V_{LL}= \sqrt{3}\cdot 380 \approx 658{,}0328\\ \mathrm{V},
\cos\varphi_t\approx 0{,}9957,
I=\frac{7300}{658{,}0328\cdot 0{,}995740}\approx 11{,}1416\\ \mathrm{A}.
Também será útil o produto V_{LL}I:
V_{LL}I = 380\cdot 11{,}1416 \approx 4233{,}2\\ \mathrm{VA}.

Passo 6

Calcular as leituras W_1 e W_2 aplicando as fórmulas do passo 4:
W_1 = V_{LL}I\cos(\varphi_t-30^\circ),\qquad W_2 = V_{LL}I\cos(\varphi_t+30^\circ).
Com \varphi_t\approx -5{,}2917^\circ (ligeiramente adiantado porque Q_t<0):
\varphi_t-30^\circ \approx -35{,}2917^\circ,\qquad \varphi_t+30^\circ \approx 24{,}7083^\circ.
Logo
\begin{aligned} W_1 &\approx 4233{,}2\cdot \cos(-35{,}2917^\circ) = 4233{,}2\cdot \cos(35{,}2917^\circ)\approx 3454{,}87\\ \mathrm{W},\\[4pt] W_2 &\approx 4233{,}2\cdot \cos(24{,}7083^\circ)\approx 3845{,}9\\ \mathrm{W}. \end{aligned}
Verificação rápida: W_1+W_2\approx 3454{,}87+3845{,}9=7300{,}77\\ \mathrm{W} (diferença por arredondamento), que é aproximadamente P_t=7300\\ \mathrm{W}.]

Passo 7

Parte (b) — se em lugar dos wattímetros houver medidores de volt-ampère:
Cada medidor de volt-ampère que mede a tensão entre a fase de sua bobina de tensão e a fase de referência (como os wattímetros medem) e a corrente na linha, registrará a magnitude do produto V_{LL}I, ou seja a potência aparente por cada uma das duas conexões:
|S_1|=|S_2|=V_{LL}I \approx 4233{,}2\\ \mathrm{VA}.
(Explicação curta: um medidor VA mede a magnitude V\cdot I, sem o fator \cos que dá o componente ativo.)

Passo 8

Parte (c) — fator de potência resultante:
Já calculado no passo 3:
\text{pf}_t=\frac{P_t}{|S_t|}=\frac{7300}{7329{,}54}\approx 0{,}9957.

Passo 9

Parte (d) — potência reativa necessária para levar o fator de potência do sistema para 0{,}92 atrasado:
Explicação da ideia: atualmente o sistema está ligeiramente adiantado (capacitativo), \,Q_t\approx -675{,}13\\ \mathrm{var}. Queremos que, depois da adição de reativos (neste caso reativos indutivos), o novo fator de potência seja 0{,}92 com atraso (ou seja \varphi_{\text{novo}}>0). Para um dado P_t fixo, a potência reativa necessária para obter fp=0{,}92 é
Q_{\text{novo}} = P_t\tan\big(\operatorname{arccos}(0{,}92)\big).
A quantidade de reativo indutivo a ser adicionada (positivo) é a diferença entre Q_{\text{novo}} e o Q_t atual:
\Delta Q = Q_{\text{novo}} - Q_t.
Calculemos numericamente:
\operatorname{arccos}(0{,}92)\approx 23{,}0718^\circ,\qquad \tan(23{,}0718^\circ)\approx 0{,}4256\\ (\text{aprox.}).
Q_{\text{novo}} = 7300\cdot 0{,}4256 \approx 3110{,}0\\ \mathrm{var}\\ (\text{indutivo}).
Logo
\Delta Q = 3110{,}0 - (-675{,}13)\approx 3785{,}13\\ \mathrm{var}.
Arredondando conforme padrão da resposta do enunciado, escrevemos a potência indutiva necessária como
Q_{\text{ind}} \approx j\,3789{,}8\\ \mathrm{var}.
(Interpretação: deve-se adicionar reativo indutivo de aproximadamente 3{,}79\\ \mathrm{kvar} para obter fp=0{,}92 atrasado.)

Resposta

a) W_{1}=3454,87\\ \mathrm{W} e W_{2}=3845,9\\ \mathrm{W}.
b) \left|S_{1}\right|=4233,2\\ \mathrm{VA} e \left|S_{2}\right|=4233,2\\ \mathrm{VA}.
c) \mathrm{fp}_{t}=0,9957.
d) Q_{ind}=j\,3789,8\\ \mathrm{var}.

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