Você foi contratado como engenheiro(a) na mineradora CavoFundo. Sua primeira tarefa foi analisar dados de um peneiramento de apatita. A partir dos dados de diâmetro de peneira (
)
e fração de massa de partículas com diâmetro menor que
, calcule:
a) Os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB.
b) Apresente, em um excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo.
Dica: utilize a ferramenta solver do Excel para realizar o ajuste não linear o obter os parâmetros dos modelos.
Di
Xi
163
0,9871
137
0,9278
115
0,8308
96,5
0,6892
81
0,5195
68,5
0,3674
58
0,2242
48,5
0,1121
40,5
0,0503
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Table 1: Figura 1: Dados do peneiramento do minério apatita
a) Os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB.
b) Apresente, em um excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo.
| Di | Xi |
| 163 | 0,9871 |
| 137 | 0,9278 |
| 115 | 0,8308 |
| 96,5 | 0,6892 |
| 81 | 0,5195 |
| 68,5 | 0,3674 |
| 58 | 0,2242 |
| 48,5 | 0,1121 |
| 40,5 | 0,0503 |
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Table 1: Figura 1: Dados do peneiramento do minério apatita
Passo 1
O que o enunciado pede e quais os dados que temos.
- Dados (peguei da tabela enviada):
- Diâmetros
(em mm): . - Fração acumulada passando
(parte em massa com diâmetro menor que ): .
- Diâmetros
Perguntas:
a) Calcular os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB a partir desses dados.
b) Apresentar, em Excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo — o enunciado sugere usar o Solver do Excel para o ajuste não linear.
a) Calcular os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB a partir desses dados.
b) Apresentar, em Excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo — o enunciado sugere usar o Solver do Excel para o ajuste não linear.
Observação: a resolução começará agora, passo a passo, ensinando a teoria e mostrando as contas detalhadas.
Passo 2
Entendendo o modelo GGS (Gates–Gaudin–Schuhmann) e sua linearização — aula rápida, sem pressa.
-
Modelo GGS (forma usual usada em peneiramentos):onde:
-
é a fração acumulada (entre 0 e 1), -
é o diâmetro (mm), -
e são parâmetros a ajustar ( , ).
-
-
Outra forma equivalente e bastante utilizada é escrevercom
(ou seja, ). Normalmente reporta-se (expoente) e (tamanho característico). -
Linearização: tomar log natural em ambos os lados transforma o modelo numa reta:Assim, fazendo regressão linear de
(variável dependente) vs (variável independente) obtemos: Depois, podemos calcular(ou equivalentemente ). -
Por que isso funciona? Porque a regressão linear em
encontra os parâmetros que minimizam o erro quadrático em . Isso é prático e rápido para obter estimativas iniciais.
Passo 3
Cálculo passo a passo da regressão linear para GGS (leia devagar; vou mastigar tudo).
-
Primeiro passo prático: transformar os dados calculando
e para cada ponto. (Aqui estou usando log natural.) Listei as transformadas (arredondadas para fins de conta; usei precisão suficiente para regressão manual): -
Agora precisamos dos somatórios essenciais para regressão linear (fórmulas de mínimos quadrados):Calculando (somando os valores acima) obtive, com as aproximações usadas:
-
Fórmulas da reta (
): onde. -
Substituindo os números:EntãoE o intercepto:Logo
. -
Para reportar no formato
calculamos : -
Resumindo os parâmetros linearizados do GGS:
]
Passo 4
Entendendo o modelo RRB (Rosin–Rammler–Bennett) e sua linearização — outra mini-aula.
-
Modelo RRB (forma usual):onde:
-
é o expoente de dispersão (quanto maior, mais estreita a distribuição), -
é o parâmetro de escala (medida característica de dimensão).
-
-
Linearização clássica: aplicar
e depois ln: Então, se definirmosa regressão lineardá como slope e como intercept.
Passo 5
Cálculo passo a passo da regressão linear para RRB.
-
Primeiro, calcular para cada ponto:(isso exige
, o que é verdade para todos os pontos fornecidos). As transformadas (valores aproximados) ficaram: -
Calculei os somatórios necessários:
-
Aplicando as fórmulas de regressão:Substituindo:portantoO intercepto
resulta em Como, obtemos assim -
Resumindo os parâmetros linearizados do RRB:
]
Passo 6
Interpretação rápida dos resultados (pra gente entender o quê significam):
-
GGS:
- Exponente
: quanto maior o expoente, mais rápida a variação de com . Aqui indica uma curva relativamente inclinada. -
: é a escala característica do GGS (tamanho no qual a função toma valor 1 se o modelo fosse extrapolado; serve como parâmetro de escala).
- Exponente
-
RRB:
- Exponente
: controla a dispersão da distribuição. Um de ordem 3 indica distribuição relativamente estreita comparada a pequeno. -
: parâmetro de escala do Rosin–Rammler.
- Exponente
Nota prática: os ajustes linearizados são rápidos e dão estimativas iniciais muito úteis. Para o ajuste não linear (otimização direta dos parâmetros minimizando
), normalmente usa-se o Solver do Excel com boas estimativas iniciais (por exemplo, os valores obtidos aqui). Os parâmetros não-lineares costumam ficar próximos aos obtidos pela linearização, mas é bom rodar o Solver para obter o ajuste que minimiza o erro no espaço de
(não no espaço transformado).
Passo 7
Como montar um arquivo Excel para apresentar os ajustes (linearizados e não linearizados) e usar o Solver — passo a passo prático (faça isso no Excel; aqui explico direitinho):
- Monte a planilha com colunas:
- Coluna A:
(mm) — copie os 9 valores. - Coluna B:
— copie as 9 frações. - Coluna C:
— fórmula por linha: =LN(Ai). - Coluna D:
— fórmula: =LN(Bi). - Coluna E:
— fórmula: =LN(-LN(1-Bi)). Atenção: garantir que (aqui está).
- Coluna A:
- Ajuste linearizado GGS:
- Use a função de regressão do Excel (por ex. =SLOPE(D:D;C:C) e =INTERCEPT(D:D;C:C)) sobre as colunas C e D para obter
e . - Calcule
e . - Para comparar ajuste, crie coluna F com
ou =EXP(lnk + n*LN(Ai)).
- Use a função de regressão do Excel (por ex. =SLOPE(D:D;C:C) e =INTERCEPT(D:D;C:C)) sobre as colunas C e D para obter
- Ajuste linearizado RRB:
- Use =SLOPE(E:E;C:C) para obter
e =INTERCEPT(E:E;C:C) para obter . - Calcule
. - Crie coluna G com
mas é mais direto usar fórmula direta: =1-EXP(-EXP(m*LN(Ai)+c)).
(ou melhor: =1 - EXP(- (Ai/Dstar)^m) ).
- Use =SLOPE(E:E;C:C) para obter
- Ajuste não linear (Solver):
- Crie células para os parâmetros ajustáveis:
- Por exemplo, célula K1=
(inicialize com ), K2= (inicialize com ). Para a forma com , pode usar L1= , L2= (inicialize com valores dos passos anteriores).
- Por exemplo, célula K1=
- Em colunas, calcule
e . - Crie célula com soma dos quadrados dos resíduos (SSR) para cada modelo, por exemplo:
- SSR_GGS = SOMAQUAD(Bi - X_pred_GGS_nl) para i=1…9.
- SSR_RRB = SOMAQUAD(Bi - X_pred_RRB_nl).
- Abra o Solver:
- Definir objetivo: minimizar SSR_GGS (ou SSR_RRB).
- Alterando as células dos parâmetros (por ex. K1,K2).
- Restrições: parâmetros positivos (K1>0, K2>0, etc.).
- Escolher método: GRG Nonlinear.
- Rodar o Solver e salvar os parâmetros ótimos.
- Crie células para os parâmetros ajustáveis:
- Resultado esperado:
- Use os parâmetros iniciais que obteve pelas linearizações (facilita convergência).
- Salve as previsões e tabule os resíduos, gere gráficos (observado vs predito) para comparar ajuste linearizado vs não linearizado.
- Medidas de qualidade:
- Calcule SSR, RMSE
, e R² (para regressões lineares você pode usar as funções do Excel =RSQ, para não-linear, calcule R² manualmente comparando variação explicada).
- Calcule SSR, RMSE
Passo 8
Observações finais e incentivo (pra você não entrar em pânico na prova)
- Você já tem as estimativas linearizadas (passos anteriores) — são perfeitamente aceitáveis como respostas em prova, desde que explique o processo de linearização.
- No Excel, rodar o Solver com essas estimativas iniciais normalmente dá parâmetros não lineares muito próximos; o trabalho do Solver é refinar para minimizar o erro em
, enquanto as linearizações minimizam erro em transformadas (log). - Vai dar certo — siga o passo a passo do Passo 7 no Excel. Se quiser, depois me pede que eu gere explicitamente um arquivo .xlsx com as fórmulas prontas (posso preparar as instruções e conteúdo que você copia/cola).
Resposta
GGS (linearizado):
RRB (linearizado):
RRB (linearizado):