Você foi contratado como engenheiro(a) na mineradora CavoFundo. Sua primeira tarefa foi analisar dados de um peneiramento de apatita. A partir dos dados de diâmetro de peneira ( D \# ) (\mathrm{em} \mathrm{mm}) e fração de massa de partículas com diâmetro menor que \mathrm{D}(\mathrm{X}), calcule:
a) Os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB.
b) Apresente, em um excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo.
Dica: utilize a ferramenta solver do Excel para realizar o ajuste não linear o obter os parâmetros dos modelos.
Di Xi
163 0,9871
137 0,9278
115 0,8308
96,5 0,6892
81 0,5195
68,5 0,3674
58 0,2242
48,5 0,1121
40,5 0,0503

\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Figura 1: Dados do peneiramento do minério apatita

Passo 1

O que o enunciado pede e quais os dados que temos.
  • Dados (peguei da tabela enviada):
    • Diâmetros \,D (em mm): \,163,\;137,\;115,\;96{,}5,\;81,\;68{,}5,\;58,\;48{,}5,\;40{,}5.
    • Fração acumulada passando \,X (parte em massa com diâmetro menor que \,D): \,0{,}9871,\;0{,}9278,\;0{,}8308,\;0{,}6892,\;0{,}5195,\;0{,}3674,\;0{,}2242,\;0{,}1121,\;0{,}0503.
Perguntas:
a) Calcular os parâmetros linearizados dos modelos GGS e RRB a partir desses dados.
b) Apresentar, em Excel, os ajustes (linearizados e não linearizados) de cada modelo — o enunciado sugere usar o Solver do Excel para o ajuste não linear.
Observação: a resolução começará agora, passo a passo, ensinando a teoria e mostrando as contas detalhadas.

Passo 2

Entendendo o modelo GGS (Gates–Gaudin–Schuhmann) e sua linearização — aula rápida, sem pressa.
  • Modelo GGS (forma usual usada em peneiramentos):
    X = k\,D^{\,n},
    onde:
    • \,X é a fração acumulada (entre 0 e 1),
    • \,D é o diâmetro (mm),
    • \,k e \,n são parâmetros a ajustar ( k>0, n>0).
  • Outra forma equivalente e bastante utilizada é escrever
    X = \left(\dfrac{D}{D_0}\right)^{n},
    com \,D_0 = k^{-1/n} (ou seja, k = D_0^{-n}). Normalmente reporta-se \,n (expoente) e \,D_0 (tamanho característico).
  • Linearização: tomar log natural em ambos os lados transforma o modelo numa reta:
    \ln X = \ln k + n\,\ln D.
    Assim, fazendo regressão linear de \ln X (variável dependente) vs \ln D (variável independente) obtemos:
    \text{slope} = n,\qquad \text{intercept} = \ln k.
    Depois, podemos calcular \,D_0 = \exp\!\bigl(-\tfrac{\ln k}{n}\bigr) (ou equivalentemente \,D_0 = k^{-1/n}).
  • Por que isso funciona? Porque a regressão linear em (\ln D,\ln X) encontra os parâmetros que minimizam o erro quadrático em \ln X. Isso é prático e rápido para obter estimativas iniciais.

Passo 3

Cálculo passo a passo da regressão linear para GGS (leia devagar; vou mastigar tudo).
  • Primeiro passo prático: transformar os dados calculando \ln D e \ln X para cada ponto. (Aqui estou usando log natural.)
    Listei as transformadas (arredondadas para fins de conta; usei precisão suficiente para regressão manual):
    \begin{array}{c|c|c} D\;(\mathrm{mm}) & \ln D & \ln X\\hline 163 & 5{,}0938 & -0{,}01299\\\\ 137 & 4{,}9199 & -0{,}07493\\\\ 115 & 4{,}7449 & -0{,}18503\\\\ 96{,}5 & 4{,}5696 & -0{,}37293\\\\ 81 & 4{,}3944 & -0{,}65409\\\\ 68{,}5 & 4{,}2267 & -1{,}00139\\\\ 58 & 4{,}0604 & -1{,}49513\\\\ 48{,}5 & 3{,}8817 & -2{,}18720\\\\ 40{,}5 & 3{,}7012 & -2{,}99325 \end{array}
  • Agora precisamos dos somatórios essenciais para regressão linear (fórmulas de mínimos quadrados):
    S_x=\sum \ln D,\quad S_y=\sum \ln X,\quad S_{xx}=\sum (\ln D)^2,\quad S_{xy}=\sum (\ln D)(\ln X).
    Calculando (somando os valores acima) obtive, com as aproximações usadas:
    \begin{aligned} N&=9,\\\ S_x &\approx 39{,}59267,\\\ S_y &\approx -8{,}97694,\\\ S_{xx} &\approx 175{,}9706,\\\ S_{xy} &\approx -35{,}7573. \end{aligned}
  • Fórmulas da reta ( \ln X = a + n\ln D):
    n=\dfrac{N S_{xy} - S_x S_y}{N S_{xx} - S_x^2},\qquad a=\dfrac{S_y - n S_x}{N},
    onde a=\ln k.
  • Substituindo os números:
    \begin{aligned} \text{num} &= 9\cdot(-35{,}7573) - 39{,}59267\cdot(-8{,}97694) \approx 33{,}7843,\\[4pt] \text{den} &= 9\cdot175{,}9706 - (39{,}59267)^2 \approx 16{,}1549. \end{aligned}
    Então
    n \approx \dfrac{33{,}7843}{16{,}1549} \approx 2{,}091.
    E o intercepto:
    a=\ln k \approx \dfrac{-8{,}97694 - 2{,}091\cdot39{,}59267}{9} \approx -10{,}1962.
    Logo k=\exp(a)\approx 3{,}74\times 10^{-5}.
  • Para reportar no formato \,X=(D/D_0)^n calculamos \,D_0:
    D_0 = \exp\!\biggl(-\dfrac{a}{n}\biggr) \approx \exp\!\Bigl(\dfrac{10{,}1962}{2{,}091}\Bigr) \approx 131{,}3\\ \mathrm{mm}.
  • Resumindo os parâmetros linearizados do GGS:
    n \approx 2{,}091,\qquad k \approx 3{,}74\times 10^{-5},\qquad D_0 \approx 131{,}3\\ \mathrm{mm}.]

Passo 4

Entendendo o modelo RRB (Rosin–Rammler–Bennett) e sua linearização — outra mini-aula.
  • Modelo RRB (forma usual):
    X = 1 - \exp\!\left[-\biggl(\dfrac{D}{D_*}\biggr)^{m}\right],
    onde:
    • \,m>0 é o expoente de dispersão (quanto maior, mais estreita a distribuição),
    • \,D_* é o parâmetro de escala (medida característica de dimensão).
  • Linearização clássica: aplicar -\ln(1-X) e depois ln:
    -\ln(1-X) = \left(\dfrac{D}{D_*}\right)^{m}\quad\Rightarrow\quad \ln\bigl[-\ln(1-X)\bigr] = m\,\ln D - m\,\ln D_*.
    Então, se definirmos
    Y = \ln\bigl[-\ln(1-X)\bigr],\qquad X_{\text{var}}=\ln D,
    a regressão linear Y = c + m\,\ln D \,m como slope e c=-m\ln D_* como intercept.

Passo 5

Cálculo passo a passo da regressão linear para RRB.
  • Primeiro, calcular para cada ponto:
    Y_i = \ln\bigl[-\ln(1-X_i)\bigr]
    (isso exige 0<X_i<1, o que é verdade para todos os pontos fornecidos).
    As transformadas (valores aproximados) ficaram:
    \begin{array}{c|c|c} D\;(\mathrm{mm}) & \ln D & Y=\ln(-\ln(1-X))\\hline 163 & 5{,}0938 & 1{,}4689\\\\ 137 & 4{,}9199 & 0{,}9660\\\\ 115 & 4{,}7449 & 0{,}5729\\\\ 96{,}5 & 4{,}5696 & 0{,}1579\\\\ 81 & 4{,}3944 & -0{,}3096\\\\ 68{,}5 & 4{,}2267 & -0{,}7804\\\\ 58 & 4{,}0604 & -1{,}3694\\\\ 48{,}5 & 3{,}8817 & -2{,}1315\\\\ 40{,}5 & 3{,}7012 & -2{,}9640 \end{array}
  • Calculei os somatórios necessários:
    \begin{aligned} S_x &= \sum \ln D \approx 39{,}59267\\ \text{(mesmo de antes)},\\\ S_Y &= \sum Y \approx -4{,}3892,\\\ S_{xY} &= \sum (\ln D)\,Y \approx -13{,}7909,\\\ S_{xx} &\approx 175{,}9706. \end{aligned}
  • Aplicando as fórmulas de regressão:
    m = \dfrac{N S_{xY} - S_x S_Y}{N S_{xx} - S_x^2},\qquad c=\dfrac{S_Y - m S_x}{N}.
    Substituindo:
    \begin{aligned} \text{num} &= 9\cdot(-13{,}7909) - 39{,}59267\cdot(-4{,}3892)\approx 49{,}5889,\\[4pt] \text{den} &= 9\cdot175{,}9706 - (39{,}59267)^2\approx 16{,}1549, \end{aligned}
    portanto
    m \approx \dfrac{49{,}5889}{16{,}1549} \approx 3{,}070.
    O intercepto c resulta em
    c \approx \dfrac{-4{,}3892 - 3{,}070\cdot39{,}59267}{9} \approx -13{,}9932.
    Como c = -m\ln D_*, obtemos
    \ln D_* = -\dfrac{c}{m} \approx \dfrac{13{,}9932}{3{,}070} \approx 4{,}557,
    assim
    D_* \approx \exp(4{,}557) \approx 95{,}4\\ \mathrm{mm}.
  • Resumindo os parâmetros linearizados do RRB:
    m \approx 3{,}070,\qquad D_* \approx 95{,}4\\ \mathrm{mm}.]

Passo 6

Interpretação rápida dos resultados (pra gente entender o quê significam):
  • GGS:
    • Exponente \,n\approx 2{,}091: quanto maior o expoente, mais rápida a variação de X com D. Aqui indica uma curva relativamente inclinada.
    • \,D_0\approx 131{,}3\\ \mathrm{mm}: é a escala característica do GGS (tamanho no qual a função toma valor 1 se o modelo fosse extrapolado; serve como parâmetro de escala).
  • RRB:
    • Exponente \,m\approx 3{,}070: controla a dispersão da distribuição. Um m de ordem 3 indica distribuição relativamente estreita comparada a m pequeno.
    • \,D_*\approx 95{,}4\\ \mathrm{mm}: parâmetro de escala do Rosin–Rammler.
Nota prática: os ajustes linearizados são rápidos e dão estimativas iniciais muito úteis. Para o ajuste não linear (otimização direta dos parâmetros minimizando \sum (X_{\text{obs}}-X_{\text{pred}})^2), normalmente usa-se o Solver do Excel com boas estimativas iniciais (por exemplo, os valores obtidos aqui). Os parâmetros não-lineares costumam ficar próximos aos obtidos pela linearização, mas é bom rodar o Solver para obter o ajuste que minimiza o erro no espaço de X (não no espaço transformado).

Passo 7

Como montar um arquivo Excel para apresentar os ajustes (linearizados e não linearizados) e usar o Solver — passo a passo prático (faça isso no Excel; aqui explico direitinho):
  1. Monte a planilha com colunas:
    • Coluna A: D (mm) — copie os 9 valores.
    • Coluna B: X_{\text{obs}} — copie as 9 frações.
    • Coluna C: \ln D — fórmula por linha: =LN(Ai).
    • Coluna D: \ln X — fórmula: =LN(Bi).
    • Coluna E: Y=\ln(-\ln(1-X)) — fórmula: =LN(-LN(1-Bi)). Atenção: garantir que (1-Bi)>0 (aqui está).
  2. Ajuste linearizado GGS:
    • Use a função de regressão do Excel (por ex. =SLOPE(D:D;C:C) e =INTERCEPT(D:D;C:C)) sobre as colunas C e D para obter n e \ln k.
    • Calcule k=\exp(\ln k) e D_0=\exp(-\ln k/n).
    • Para comparar ajuste, crie coluna F com X_{\text{pred, GGS-ll}} = \exp(\ln k + n\cdot\ln D) ou =EXP(lnk + n*LN(Ai)).
  3. Ajuste linearizado RRB:
    • Use =SLOPE(E:E;C:C) para obter m e =INTERCEPT(E:E;C:C) para obter c.
    • Calcule D_*=\exp(-c/m).
    • Crie coluna G com X_{\text{pred, RRB-ll}} = 1 - \exp\bigl(-\exp(E_i)\bigr) mas é mais direto usar fórmula direta: =1-EXP(-EXP(m*LN(Ai)+c)).
      (ou melhor: =1 - EXP(- (Ai/Dstar)^m) ).
  4. Ajuste não linear (Solver):
    • Crie células para os parâmetros ajustáveis:
      • Por exemplo, célula K1= n\_NL (inicialize com 2{,}091), K2= k\_NL (inicialize com 3{,}74E-05). Para a forma com D_0, pode usar L1= m\_NL, L2= Dstar\_NL (inicialize com valores dos passos anteriores).
    • Em colunas, calcule X_{\text{pred, GGS-nl}} = k\_NL\cdot D^{\,n\_NL} e X_{\text{pred, RRB-nl}} = 1-\exp[-(D/Dstar\_NL)^{m\_NL}].
    • Crie célula com soma dos quadrados dos resíduos (SSR) para cada modelo, por exemplo:
      • SSR_GGS = SOMAQUAD(Bi - X_pred_GGS_nl) para i=1…9.
      • SSR_RRB = SOMAQUAD(Bi - X_pred_RRB_nl).
    • Abra o Solver:
      • Definir objetivo: minimizar SSR_GGS (ou SSR_RRB).
      • Alterando as células dos parâmetros (por ex. K1,K2).
      • Restrições: parâmetros positivos (K1>0, K2>0, etc.).
      • Escolher método: GRG Nonlinear.
      • Rodar o Solver e salvar os parâmetros ótimos.
  5. Resultado esperado:
    • Use os parâmetros iniciais que obteve pelas linearizações (facilita convergência).
    • Salve as previsões e tabule os resíduos, gere gráficos (observado vs predito) para comparar ajuste linearizado vs não linearizado.
  6. Medidas de qualidade:
    • Calcule SSR, RMSE =\sqrt{\text{SSR}/N}, e R² (para regressões lineares você pode usar as funções do Excel =RSQ, para não-linear, calcule R² manualmente comparando variação explicada).

Passo 8

Observações finais e incentivo (pra você não entrar em pânico na prova)
  • Você já tem as estimativas linearizadas (passos anteriores) — são perfeitamente aceitáveis como respostas em prova, desde que explique o processo de linearização.
  • No Excel, rodar o Solver com essas estimativas iniciais normalmente dá parâmetros não lineares muito próximos; o trabalho do Solver é refinar para minimizar o erro em X, enquanto as linearizações minimizam erro em transformadas (log).
  • Vai dar certo — siga o passo a passo do Passo 7 no Excel. Se quiser, depois me pede que eu gere explicitamente um arquivo .xlsx com as fórmulas prontas (posso preparar as instruções e conteúdo que você copia/cola).

Resposta

GGS (linearizado): n \approx 2{,}091,\;k \approx 3{,}74\times10^{-5},\;D_0 \approx 131{,}3\\ \mathrm{mm}
RRB (linearizado): m \approx 3{,}070,\;D_* \approx 95{,}4\\ \mathrm{mm}

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