Exercício 7. Suponha que a temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada pela função
. Encontre o caminho em que uma partícula se move se ela segue sempre a direção de maior temperatura.
e
.
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura na placa é dada por
e que a partícula se move sempre na direção de maior aumento de
. Em cálculos vetoriais, isso significa que sua velocidade
é paralela ao gradiente de
, que é o vetor de direções de crescimento máximo.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
. Por definição,
Esse vetor em cada ponto
aponta na direção de maior aumento de
.
Passo 3
Para que a velocidade da partícula seja exatamente o gradiente, tomamos o sistema de EDOs
Este é um fluxo de gradiente (gradient flow) parametrizado de modo natural.
Passo 4
Cada equação é separável. De
segue
De
segue
Passo 5
Se quisermos que a curva passe pelo ponto
em
, impomos
Logo a solução particular é
Resposta
O caminho de subida mais íngreme (seguindo o gradiente) que passa por
em
é
Esse parâmetro satisfaz
.