Exercício 7. Suponha que a temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada pela função T(x, y)=1+x^{2}-y^{2}. Encontre o caminho em que uma partícula se move se ela segue sempre a direção de maior temperatura. \gamma(t)=(x(t), y(t)) \operatorname{com} x(t)=-2 e^{2 t} e y(t)=e^{2 t}.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura na placa é dada por
T(x,y)=1+x^{2}-y^{2},
e que a partícula se move sempre na direção de maior aumento de T. Em cálculos vetoriais, isso significa que sua velocidade \bigl(x'(t),y'(t)\bigr) é paralela ao gradiente de T, que é o vetor de direções de crescimento máximo.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de T. Por definição,
\displaystyle \nabla T(x,y) =\bigl(\partial_x T,\;\partial_y T\bigr) =(2x,\;-2y).
Esse vetor em cada ponto (x,y) aponta na direção de maior aumento de T.

Passo 3

Para que a velocidade da partícula seja exatamente o gradiente, tomamos o sistema de EDOs
\begin{cases} x'(t)=2\,x(t),\\\ y'(t)=-2\,y(t). \end{cases}
Este é um fluxo de gradiente (gradient flow) parametrizado de modo natural.

Passo 4

Cada equação é separável. De x'(t)=2x(t) segue
\frac{x'}{x}=2 \quad\Longrightarrow\quad \ln|x|=2t+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad x(t)=A\,e^{2t}.
De y'(t)=-2y(t) segue
\frac{y'}{y}=-2 \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=-2t+C_{2} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=B\,e^{-2t}.

Passo 5

Se quisermos que a curva passe pelo ponto (-2,1) em t=0, impomos
x(0)=A=-2, \quad y(0)=B=1.
Logo a solução particular é
x(t)=-2\,e^{2t}, \quad y(t)=1\cdot e^{-2t}=e^{-2t}.

Resposta

O caminho de subida mais íngreme (seguindo o gradiente) que passa por (-2,1) em t=0 é
\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\bigl(-2\,e^{2t},\,e^{-2t}\bigr).
Esse parâmetro satisfaz \gamma'(t)=\nabla T\bigl(\gamma(t)\bigr).

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