Exercício 6. A tensão em um capacitor em um circuito RC é dada por:
V(t)=\left(2 t^{3}+5 t\right) \cdot e^{-0.1 t}
onde t é o tempo (em segundos) e V(t) está em volts.
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão no capacitor.
Calcule a derivada segunda de V(t) e interprete seu significado físico (relacione com a corrente no circuito).

Passo 1

O enunciado fornece a tensão no capacitor como
V(t)=\left(2 t^{3}+5 t\right)\cdot e^{-0,1 t}
e pede duas coisas: (1) usar a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão, ou seja V'(t); (2) calcular a derivada segunda V''(t) e interpretar fisicamente esse resultado relacionando-o com a corrente no circuito.
Informações relevantes dadas: a expressão de V(t) (polinômio multiplicado por exponencial) e que t está em segundos e V(t) em volts. Não foi dado o valor da capacitância C — isso não impede a interpretação geral porque a relação entre tensão e corrente em um capacitor é i(t)=C\,V'(t).

Passo 2

Aula rápida e prática sobre a regra do produto (sem pânico, é só somar duas partes): se tivermos duas funções u(t) e v(t), a derivada do produto é
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui escolhemos u(t)=2 t^{3}+5 t e v(t)=e^{-0,1 t}. Vou calcular u'(t) e v'(t) separadamente:
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2 t^{3}+5 t\bigr)=6 t^{2}+5,
porque a derivada de 2 t^{3} é 6 t^{2} e de 5 t é 5.
Para a exponencial,
v(t)=e^{-0,1 t}\quad\Rightarrow\quad v'(t)=-0,1\,e^{-0,1 t},
pois a derivada de e^{a t} é a e^{a t} e aqui a=-0,1.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
V'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v' temos
V'(t)=(6 t^{2}+5)\,e^{-0,1 t}+(2 t^{3}+5 t)\,(-0,1)\,e^{-0,1 t}.
Vou fatorar e^{-0,1 t} (é comum a ambos os termos) e simplificar os coeficientes:
V'(t)=e^{-0,1 t}\Bigl((6 t^{2}+5)-0,1(2 t^{3}+5 t)\Bigr).
Calcule 0,1(2 t^{3}+5 t)=0,2 t^{3}+0,5 t. Subtraindo:
(6 t^{2}+5)-(0,2 t^{3}+0,5 t)=-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5.
Portanto a expressão final simplificada para a primeira derivada é
V'(t)=e^{-0,1 t}\left(-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5\right).

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada V''(t). É mais prático chamar o polinômio interior de
p(t)=-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5,
assim V'(t)=e^{-0,1 t}p(t). Aplicando a regra do produto outra vez:
V''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-0,1 t}p(t)\bigr)=e^{-0,1 t}p'(t)+(-0,1)e^{-0,1 t}p(t).
Fatorando e^{-0,1 t}:
V''(t)=e^{-0,1 t}\bigl(p'(t)-0,1\,p(t)\bigr).

Passo 5

Calcule p'(t) termo a termo:
p(t)=-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5
p'(t)=-0,6 t^{2}+12 t-0,5,
pois derivada de -0,2 t^{3} é -0,6 t^{2}, de 6 t^{2} é 12 t, de -0,5 t é -0,5 e constante some. Agora compute -0,1\,p(t):
-0,1\,p(t)= -0,1\bigl(-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5\bigr)=0,02 t^{3}-0,6 t^{2}+0,05 t-0,5.
Agora somamos p'(t)+(-0,1 p(t)) — lembre que na fórmula usamos p'(t)-0,1 p(t), que é exatamente isso:
p'(t)-0,1 p(t)=(-0,6 t^{2}+12 t-0,5)+(0,02 t^{3}-0,6 t^{2}+0,05 t-0,5).
Agrupando termos por potência de t:
0,02 t^{3}+(-0,6-0,6)t^{2}+(12+0,05)t+(-0,5-0,5).
Calcule os coeficientes:
0,02 t^{3}-1,2 t^{2}+12,05 t-1.
Portanto
V''(t)=e^{-0,1 t}\left(0,02 t^{3}-1,2 t^{2}+12,05 t-1\right).

Passo 6

Interpretação física (com jeitinho): em um capacitor a relação entre corrente e tensão é
i(t)=C\,\frac{dV}{dt}=C\,V'(t),
onde C é a capacitância (constante). Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
\frac{di}{dt}=C\,V''(t).
Ou seja, a segunda derivada V''(t) é proporcional à taxa de variação do corrente: se V''(t)>0 a corrente está aumentando naquele instante; se V''(t)<0 a corrente está diminuindo. Também, a concavidade da curva V(t) (para cima ou para baixo) é dada por V''(t): concavidade para cima significa aceleração positiva da tensão. Um exemplo numérico rápido para intuir: em t=0 temos V'(0)=5 (logo i(0)=5C) e V''(0)=-1 (logo \,di/dt(0)=-C), ou seja, inicialmente a tensão está crescendo mas com taxa de crescimento diminuindo — a corrente inicial é positiva, porém está decrescendo.

Resposta

V'(t)=e^{-0,1 t}\left(-0,2 t^{3}+6 t^{2}-0,5 t+5\right)
V''(t)=e^{-0,1 t}\left(0,02 t^{3}-1,2 t^{2}+12,05 t-1\right)
Interpretação: i(t)=C\,V'(t) e \dfrac{di}{dt}=C\,V''(t); portanto V''(t)>0 implica corrente aumentando, V''(t)<0 implica corrente diminuindo (por exemplo V'(0)=5 e V''(0)=-1, logo i(0)=5C e \,di/dt(0)=-C).

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