Exercício 6. A tensão em um capacitor em um circuito RC é dada por:
onde
é o tempo (em segundos) e
está em volts.
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão no capacitor.
Calcule a derivada segunda de
e interprete seu significado físico (relacione com a corrente no circuito).
Use a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão no capacitor.
Calcule a derivada segunda de
Passo 1
O enunciado fornece a tensão no capacitor como
e pede duas coisas: (1) usar a regra do produto para encontrar a taxa de variação da tensão, ou seja
; (2) calcular a derivada segunda
e interpretar fisicamente esse resultado relacionando-o com a corrente no circuito.
Informações relevantes dadas: a expressão de (polinômio multiplicado por exponencial) e que
está em segundos e
em volts. Não foi dado o valor da capacitância
— isso não impede a interpretação geral porque a relação entre tensão e corrente em um capacitor é
.
Informações relevantes dadas: a expressão de
Passo 2
Aula rápida e prática sobre a regra do produto (sem pânico, é só somar duas partes): se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é
Aqui escolhemos
e
. Vou calcular
e
separadamente:
porque a derivada de
é
e de
é
.
Para a exponencial,
Para a exponencial,
pois a derivada de
é
e aqui
.
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
temos
Vou fatorar
(é comum a ambos os termos) e simplificar os coeficientes:
Calcule
. Subtraindo:
Portanto a expressão final simplificada para a primeira derivada é
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada
. É mais prático chamar o polinômio interior de
assim
. Aplicando a regra do produto outra vez:
Fatorando
:
Passo 5
Calcule
termo a termo:
pois derivada de
é
, de
é
, de
é
e constante some. Agora compute
:
Agora somamos
— lembre que na fórmula usamos
, que é exatamente isso:
Agrupando termos por potência de
:
Calcule os coeficientes:
Portanto
Passo 6
Interpretação física (com jeitinho): em um capacitor a relação entre corrente e tensão é
onde
é a capacitância (constante). Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Ou seja, a segunda derivada
é proporcional à taxa de variação do corrente: se
a corrente está aumentando naquele instante; se
a corrente está diminuindo. Também, a concavidade da curva
(para cima ou para baixo) é dada por
: concavidade para cima significa aceleração positiva da tensão. Um exemplo numérico rápido para intuir: em
temos
(logo
) e
(logo
), ou seja, inicialmente a tensão está crescendo mas com taxa de crescimento diminuindo — a corrente inicial é positiva, porém está decrescendo.
Resposta
Interpretação: