Exercício 7. A potência instantânea em um dispositivo elétrico é modelada por:
onde
está em watts e
em segundos.
- Aplique a regra do quociente para determinar a taxa de variação da potência.
- Encontre a derivada segunda de
e discuta sua relação com a energia dissipada.
Passo 1
O enunciado dá a potência instantânea
onde
está em watts e
em segundos. São feitas duas perguntas:
- Calcular a taxa de variação da potência, ou seja, encontrar
. - Encontrar a derivada segunda
e discutir como isso se relaciona com a energia dissipada.
Informações relevantes que vamos usar (apenas listar os dados do enunciado):
Passo 2
Relembrando a regra do quociente (a “fórmula” que vamos usar): se temos duas funções
e
e
então a derivada de
é
Explicando bem devagar:
é a derivada de
em relação a
;
é a derivada de
. No numerador fazemos o produto da derivada do numerador pela função denominador menos o produto da função numerador pela derivada do denominador; no denominador elevamos
ao quadrado.
Vamos aplicar isso com
Primeiro calculemos
e
passo a passo:
Derivando termo a termo,
Derivando termo a termo,
Passo 3
Agora aplicamos a regra do quociente:
Vamos expandir e simplificar o numerador com calma. Primeiro o produto
:
Depois
:
Subtraindo:
Fatorando
para deixar mais simples:
Portanto a derivada fica
Passo 4
Interpretação imediata de
(rápido, físico e útil para a prova):
- Observe o fator
no numerador. Para temos (pois sempre); para temos ; e . - Em física:
é a taxa de variação instantânea da potência. Para a potência aumenta com o tempo; para decresce (mas como é tempo, normalmente consideramos , então a potência aumenta para ).
Passo 5
Vamos agora encontrar a derivada segunda
. Para isso é prático reescrever o numerador já simplificado:
com
Primeiro derivamos
e
separadamente:
Aplicando novamente a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador do resultado de forma a reduzir potências de
. Observe que podemos fatorar um
:
Assim
Agora calculemos
e
separadamente e subtraiamos:
Fazendo a subtração:
Portanto
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 7
Análise do sinal e relação com a energia dissipada:
- Note que os coeficientes do polinômio do numerador de
são todos positivos, e os termos envolvem potências pares de (exceto o termo constante). Para qualquer temos . O denominador também é estritamente positivo para todo . Logo
- Consequência física:
significa que é crescente; geometricamente, é uma função convexa (curvatura para cima) em toda a reta dos . - Relação com energia dissipada: a energia dissipada até o tempo
(tomando uma origem conveniente ) é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
e
. Portanto:
-
é a segunda derivada de : . -
é a terceira derivada de : .
Interpretação: como
, a taxa de variação de
é positiva; isto é, a velocidade com que a potência muda está aumentando. Para
(domínio físico usual do tempo) vimos que
(com
e
para
), então
e a energia dissipada é convexa para
: a energia cresce e sua taxa de crescimento também aumenta com o tempo.
Resposta
-
-
para todo . Como tem e , segue que ; além disso, para temos e, portanto, a energia dissipada é convexa e sua taxa de crescimento aumenta com o tempo.