Exercício 7. A potência instantânea em um dispositivo elétrico é modelada por:
P(t)=\frac{3 t^{4}+2 t^{2}+1}{t^{2}+4}
onde P(t) está em watts e t em segundos.
  1. Aplique a regra do quociente para determinar a taxa de variação da potência.
  2. Encontre a derivada segunda de P(t) e discuta sua relação com a energia dissipada.

Passo 1

O enunciado dá a potência instantânea
P(t)=\frac{3 t^{4}+2 t^{2}+1}{t^{2}+4},
onde P(t) está em watts e t em segundos. São feitas duas perguntas:
  1. Calcular a taxa de variação da potência, ou seja, encontrar P'(t).
  2. Encontrar a derivada segunda P''(t) e discutir como isso se relaciona com a energia dissipada.
Informações relevantes que vamos usar (apenas listar os dados do enunciado):
P(t)=\frac{3 t^{4}+2 t^{2}+1}{t^{2}+4}.

Passo 2

Relembrando a regra do quociente (a “fórmula” que vamos usar): se temos duas funções f(t) e g(t) e
H(t)=\frac{f(t)}{g(t)},
então a derivada de H é
H'(t)=\frac{f'(t)\,g(t)-f(t)\,g'(t)}{(g(t))^{2}}.
Explicando bem devagar: f'(t) é a derivada de f em relação a t; g'(t) é a derivada de g. No numerador fazemos o produto da derivada do numerador pela função denominador menos o produto da função numerador pela derivada do denominador; no denominador elevamos g(t) ao quadrado.
Vamos aplicar isso com
f(t)=3t^{4}+2t^{2}+1,\qquad g(t)=t^{2}+4.
Primeiro calculemos f'(t) e g'(t) passo a passo:
Derivando termo a termo,
f'(t)=\frac{d}{dt}(3t^{4})+\frac{d}{dt}(2t^{2})+\frac{d}{dt}(1)=12t^{3}+4t+0=12t^{3}+4t,
g'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})+\frac{d}{dt}(4)=2t+0=2t.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente:
P'(t)=\frac{(12t^{3}+4t)(t^{2}+4)-(3t^{4}+2t^{2}+1)(2t)}{(t^{2}+4)^{2}}.
Vamos expandir e simplificar o numerador com calma. Primeiro o produto (12t^{3}+4t)(t^{2}+4):
(12t^{3}+4t)(t^{2}+4)=12t^{5}+48t^{3}+4t^{3}+16t=12t^{5}+52t^{3}+16t.
Depois (3t^{4}+2t^{2}+1)(2t):
(3t^{4}+2t^{2}+1)(2t)=6t^{5}+4t^{3}+2t.
Subtraindo:
\begin{aligned} \text{numerador} &= (12t^{5}+52t^{3}+16t)-(6t^{5}+4t^{3}+2t)\\\ &=6t^{5}+48t^{3}+14t. \end{aligned}
Fatorando 2t para deixar mais simples:
6t^{5}+48t^{3}+14t=2t(3t^{4}+24t^{2}+7).
Portanto a derivada fica
P'(t)=\frac{2t\bigl(3t^{4}+24t^{2}+7\bigr)}{(t^{2}+4)^{2}}.

Passo 4

Interpretação imediata de P'(t) (rápido, físico e útil para a prova):
  • Observe o fator 2t no numerador. Para t>0 temos P'(t)>0 (pois 3t^{4}+24t^{2}+7>0 sempre); para t<0 temos P'(t)<0; e P'(0)=0.
  • Em física: P'(t) é a taxa de variação instantânea da potência. Para t>0 a potência aumenta com o tempo; para t<0 decresce (mas como t é tempo, normalmente consideramos t\ge 0, então a potência aumenta para t>0).

Passo 5

Vamos agora encontrar a derivada segunda P''(t). Para isso é prático reescrever o numerador já simplificado:
P'(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
com
u(t)=6t^{5}+48t^{3}+14t,\qquad v(t)=(t^{2}+4)^{2}.
Primeiro derivamos u e v separadamente:
u'(t)=30t^{4}+144t^{2}+14,
v'(t)=2(t^{2}+4)\cdot 2t=4t(t^{2}+4)=4t^{3}+16t.
Aplicando novamente a regra do quociente:
P''(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{(v(t))^{2}}=\frac{u'(t)(t^{2}+4)^{2}-u(t)\bigl(4t(t^{2}+4)\bigr)}{(t^{2}+4)^{4}}.

Passo 6

Vamos simplificar o numerador do resultado de forma a reduzir potências de (t^{2}+4). Observe que podemos fatorar um (t^{2}+4):
\begin{aligned} \text{numerador} &= (t^{2}+4)\bigl(u'(t)(t^{2}+4)-4t\,u(t)\bigr). \end{aligned}
Assim
P''(t)=\frac{u'(t)(t^{2}+4)-4t\,u(t)}{(t^{2}+4)^{3}}.
Agora calculemos u'(t)(t^{2}+4) e 4t\,u(t) separadamente e subtraiamos:
u'(t)(t^{2}+4)=(30t^{4}+144t^{2}+14)(t^{2}+4)=30t^{6}+264t^{4}+590t^{2}+56,
4t\,u(t)=4t(6t^{5}+48t^{3}+14t)=24t^{6}+192t^{4}+56t^{2}.
Fazendo a subtração:
\begin{aligned} u'(t)(t^{2}+4)-4t\,u(t)&=(30t^{6}+264t^{4}+590t^{2}+56)\\\ &\quad-(24t^{6}+192t^{4}+56t^{2})\\\ &=6t^{6}+72t^{4}+534t^{2}+56. \end{aligned}
Portanto
P''(t)=\frac{6t^{6}+72t^{4}+534t^{2}+56}{(t^{2}+4)^{3}}.
Podemos fatorar 2 se quisermos:
P''(t)=\frac{2\bigl(3t^{6}+36t^{4}+267t^{2}+28\bigr)}{(t^{2}+4)^{3}}.

Passo 7

Análise do sinal e relação com a energia dissipada:
  • Note que os coeficientes do polinômio do numerador de P''(t) são todos positivos, e os termos envolvem potências pares de t (exceto o termo constante). Para qualquer t\in\mathbb{R} temos 6t^{6}+72t^{4}+534t^{2}+56>0. O denominador (t^{2}+4)^{3} também é estritamente positivo para todo t. Logo
P''(t)>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
  • Consequência física: P''(t)>0 significa que P'(t) é crescente; geometricamente, P(t) é uma função convexa (curvatura para cima) em toda a reta dos t.
  • Relação com energia dissipada: a energia dissipada até o tempo t (tomando uma origem conveniente t_{0}) é
E(t)=\int_{t_{0}}^{t}P(s)\,ds.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, E'(t)=P(t) e E''(t)=P'(t). Portanto:
  • P'(t) é a segunda derivada de E(t): P'(t)=E''(t).
  • P''(t) é a terceira derivada de E(t): P''(t)=E'''(t).
Interpretação: como P''(t)>0, a taxa de variação de P'(t) é positiva; isto é, a velocidade com que a potência muda está aumentando. Para t\ge 0 (domínio físico usual do tempo) vimos que P'(t)\ge 0 (com P'(0)=0 e P'(t)>0 para t>0), então E''(t)=P'(t)\ge 0 e a energia dissipada é convexa para t\ge 0: a energia cresce e sua taxa de crescimento também aumenta com o tempo.

Resposta

  1. P'(t)=\displaystyle\frac{2t\bigl(3t^{4}+24t^{2}+7\bigr)}{(t^{2}+4)^{2}}.
  2. P''(t)=\displaystyle\frac{6t^{6}+72t^{4}+534t^{2}+56}{(t^{2}+4)^{3}}>0 para todo t. Como E(t)=\int_{t_{0}}^{t}P(s)\,ds tem E'(t)=P(t) e E''(t)=P'(t), segue que P''(t)=E'''(t); além disso, para t\ge 0 temos P'(t)\ge 0 e, portanto, a energia dissipada é convexa e sua taxa de crescimento aumenta com o tempo.

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