Exercício 4. A posição de um pistão em um motor de combustão interna é dada por:
x(t)=\left(2 t^{3}+3 t\right) \cdot \cos (0.5 \pi t)
onde t é o tempo (em segundos) e x(t) está em metros.
  1. Use a regra do produto para encontrar a velocidade do pistão.
  2. Calcule a aceleração (derivada segunda) e interprete fisicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a posição do pistão como
x(t)=\left(2 t^{3}+3 t\right)\cdot \cos\left(0,5\pi t\right),
com t em segundos e x(t) em metros, e pede duas coisas:
  1. Usar a regra do produto para encontrar a velocidade do pistão — ou seja, v(t)=x'(t).
  2. Calcular a aceleração — ou seja, a(t)=x''(t) — e interpretar fisicamente o resultado (o que o termo indica sobre o movimento, unidades, sinal, etc.).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
x(t)=\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\cdot\cos\bigl(0,5\pi t\bigr).
Não há outras constantes além de \pi e do coeficiente 0,5 no argumento do cosseno. A tarefa exige derivação usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Primeira lição rápida (útil na prova): a derivada de uma posição x(t) é a velocidade v(t)=x'(t) e a derivada da velocidade é a aceleração a(t)=v'(t)=x''(t).
Regra do produto: se \;u(t) e \;v(t) são funções, então
\bigl(u(t)\,v(t)\bigr)'=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Regra da cadeia (para trigonometria com argumento linear): se w(t)=\cos(k t) então
w'(t)=-k\sin(k t),
e se w(t)=\sin(k t) então
w'(t)=k\cos(k t).
Aqui definimos, para aplicar facilmente a regra do produto:
u(t)=2t^{3}+3t,\qquad v(t)=\cos\bigl(0,5\pi t\bigr).

Passo 3

Calcule u'(t) e v'(t) separadamente (passo a passo):
  • Derivada do polinômio:
u'(t)=\bigl(2t^{3}+3t\bigr)'=6t^{2}+3.
Expliquei: derivada de 2t^{3} é 6t^{2} (porque 3\cdot2=6) e derivada de 3t é 3.
  • Derivada do cosseno usando regra da cadeia (com k=0,5\pi):
v'(t)=\frac{d}{dt}\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)=-\bigl(0,5\pi\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr).
Expliquei: primeiro deriva-se o cosseno ( -\sin) e depois multiplica-se pela derivada do argumento ( 0,5\pi).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para obter a velocidade v(t)=x'(t):
v(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo as expressões obtidas:
v(t)=\bigl(6t^{2}+3\bigr)\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)+\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\bigl(-0,5\pi\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr).
Arrumando os sinais:
v(t)=\bigl(6t^{2}+3\bigr)\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)-0,5\pi\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr).
Pequena observação física: v(t) tem unidade metro por segundo \bigl(\mathrm{m/s}\bigr). No instante t=0 (só como checagem rápida), \cos(0)=1 e \sin(0)=0, logo v(0)=3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para obter a aceleração a(t)=v'(t)=x''(t) vamos derivar v(t). É conveniente separar v(t) em duas parcelas e derivar cada uma:
Defina \tau=0,5\pi t (isso deixa a escrita mais legível). Então
v(t)=A(t)+B(t),
com
A(t)=\bigl(6t^{2}+3\bigr)\cos(\tau),
B(t)=-0,5\pi\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\sin(\tau).
Vamos calcular A'(t) e B'(t) usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 6

Derivando A(t):
  • A derivada de 6t^{2}+3 é 12t.
  • A derivada de \cos(\tau) em relação a t é -0,5\pi\sin(\tau).
    Aplicando a regra do produto:
A'(t)=12t\cos(\tau)+\bigl(6t^{2}+3\bigr)\bigl(-0,5\pi\bigr)\sin(\tau).
Ou seja,
A'(t)=12t\cos(\tau)-0,5\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau).

Passo 7

Derivando B(t). Lembre que B(t)=-0,5\pi\cdot C(t) com C(t)=\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\sin(\tau). Então primeiro achamos C'(t) e depois multiplicamos por -0,5\pi.
Derivada de C(t) (produto de polinômio e \sin(\tau)):
  • Derivada de 2t^{3}+3t é 6t^{2}+3.
  • Derivada de \sin(\tau) é 0,5\pi\cos(\tau).
    Aplicando regra do produto:
C'(t)=(6t^{2}+3)\sin(\tau)+\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\bigl(0,5\pi\bigr)\cos(\tau).
Agora B'(t)=-0,5\pi\cdot C'(t), logo
B'(t)=-0,5\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau)-\bigl(0,5\pi\bigr)^{2}\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\cos(\tau).

Passo 8

Somando A'(t)+B'(t) obtemos a aceleração a(t). Some termo a termo:
Termos com \sin(\tau):
-0,5\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau)\;+\;\bigl(-0,5\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau)\bigr)
são dois iguais, totalizando
-2\cdot 0,5\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau)=-\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin(\tau).
Termos com \cos(\tau):
12t\cos(\tau)\;-\;\bigl(0,5\pi\bigr)^{2}\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\cos(\tau).
Como \bigl(0,5\pi\bigr)^{2}=0,25\pi^{2}, podemos escrever o termo com \cos(\tau) como
\Bigl(12t-0,25\pi^{2}\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\Bigr)\cos(\tau).
Portanto a aceleração final é
a(t)=\Bigl(12t-0,25\pi^{2}\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\Bigr)\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)-\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr).
Interpretação física e observações:
  • Unidade de a(t) é metro por segundo ao quadrado \bigl(\mathrm{m/s^{2}}\bigr).
  • A aceleração tem dois tipos de termos: um multiplicando \cos(0,5\pi t) (proveniente da variação do polinômio e do efeito do \sin via segunda derivada) e outro multiplicando \sin(0,5\pi t) (proveniente da combinação das derivadas pela regra do produto). Isso mostra que a aceleração combina a oscilação (frequência proporcional a 0,5\pi) e a variação de amplitude dada pelo polinômio 2t^{3}+3t.
  • O sinal de a(t) indica se a velocidade está aumentando ( a(t)>0) ou diminuindo ( a(t)<0) no sentido positivo de x.
  • Como checagem rápida, em t=0 temos \sin(0)=0 e \cos(0)=1, então
a(0)=\bigl(12\cdot 0-0,25\pi^{2}\cdot 0\bigr)\cdot 1 - \pi\cdot(6\cdot 0^{2}+3)\cdot 0 = 0.
Ou seja, a aceleração inicial é zero (embora a velocidade inicial seja v(0)=3\\ \mathrm{m/s}).

Resposta

v(t)=\bigl(6t^{2}+3\bigr)\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)-0,5\pi\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr)
a(t)=\Bigl(12t-0,25\pi^{2}\bigl(2t^{3}+3t\bigr)\Bigr)\cos\bigl(0,5\pi t\bigr)-\pi\bigl(6t^{2}+3\bigr)\sin\bigl(0,5\pi t\bigr)

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