Exercício 4. A posição de um pistão em um motor de combustão interna é dada por:
onde
é o tempo (em segundos) e
está em metros.
- Use a regra do produto para encontrar a velocidade do pistão.
- Calcule a aceleração (derivada segunda) e interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
O enunciado dá a posição do pistão como
com
em segundos e
em metros, e pede duas coisas:
- Usar a regra do produto para encontrar a velocidade do pistão — ou seja,
. - Calcular a aceleração — ou seja,
— e interpretar fisicamente o resultado (o que o termo indica sobre o movimento, unidades, sinal, etc.).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras constantes além de
e do coeficiente
no argumento do cosseno. A tarefa exige derivação usando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Primeira lição rápida (útil na prova): a derivada de uma posição
é a velocidade
e a derivada da velocidade é a aceleração
.
Regra do produto: se e
são funções, então
Regra do produto: se
Regra da cadeia (para trigonometria com argumento linear): se
então
e se
então
Aqui definimos, para aplicar facilmente a regra do produto:
Passo 3
Calcule
e
separadamente (passo a passo):
- Derivada do polinômio:
Expliquei: derivada de
é
(porque
) e derivada de
é
.
- Derivada do cosseno usando regra da cadeia (com
):
Expliquei: primeiro deriva-se o cosseno (
) e depois multiplica-se pela derivada do argumento (
).
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto para obter a velocidade
:
Substituindo as expressões obtidas:
Arrumando os sinais:
Pequena observação física:
tem unidade metro por segundo
. No instante
(só como checagem rápida),
e
, logo
.
Passo 5
Para obter a aceleração
vamos derivar
. É conveniente separar
em duas parcelas e derivar cada uma:
Defina (isso deixa a escrita mais legível). Então
Defina
com
Vamos calcular
e
usando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 6
Derivando
:
- A derivada de
é . - A derivada de
em relação a é .
Aplicando a regra do produto:
Ou seja,
Passo 7
Derivando
. Lembre que
com
. Então primeiro achamos
e depois multiplicamos por
.
Derivada de
(produto de polinômio e
):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando regra do produto:
Agora
, logo
Passo 8
Somando
obtemos a aceleração
. Some termo a termo:
Termos com
:
são dois iguais, totalizando
Termos com
:
Como
, podemos escrever o termo com
como
Portanto a aceleração final é
Interpretação física e observações:
- Unidade de
é metro por segundo ao quadrado . - A aceleração tem dois tipos de termos: um multiplicando
(proveniente da variação do polinômio e do efeito do via segunda derivada) e outro multiplicando (proveniente da combinação das derivadas pela regra do produto). Isso mostra que a aceleração combina a oscilação (frequência proporcional a ) e a variação de amplitude dada pelo polinômio . - O sinal de
indica se a velocidade está aumentando ( ) ou diminuindo ( ) no sentido positivo de . - Como checagem rápida, em
temos e , então
Ou seja, a aceleração inicial é zero (embora a velocidade inicial seja
).