Exercício teórico (Desafio)
Demonstre as seguintes propriedades elementares da integral definida:
\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.
Dados/hipóteses que vamos usar (pressupostos razoáveis e necessários para a afirmação): a e b são números reais e a função f é integrável no intervalo que contém a e b (por exemplo integrável em [\min\{a,b\},\max\{a,b\}]). Não se resolve nada ainda; apenas enumerei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Lembrando a definição básica (em linguagem simples) da integral definida por Riemann, para eu poder usar argumentos elementares:
  • Uma partição P de um intervalo [p,q] é uma sequência p=x_0<x_1<\dots<x_n=q. Cada segmento [x_{i-1},x_i] tem comprimento \Delta x_i = x_i-x_{i-1}.
  • Um somatório de Riemann associado a P é da forma \sum_{i=1}^n f(t_i)\,\Delta x_i, onde cada t_i é um ponto escolhido em [x_{i-1},x_i].
  • A função f é Riemann-integrável em [p,q] se, quando o calibre (norma) da partição vai a zero, todos esses somatórios convergem para um mesmo número I. Esse número I é a integral \int_p^q f(x)\,dx.
    Explicando as letras: p,q são os extremos do intervalo; x_i são pontos da partição; t_i pontos de amostragem; \Delta x_i é o tamanho do subintervalo; o somatório aproxima a área abaixo da curva. Essa memória da definição é suficiente para provar propriedades elementares.

Passo 3

Provar que a integral em um intervalo degenerado é zero:
Quero mostrar que
\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Argumento direto usando Riemann sums: qualquer partição de [a,a] tem p=q=a, portanto não há subintervalos efetivos e, por convenção, todo somatório de Riemann sobre esse intervalo é 0 (ou, se preferir ver formalmente, todos os \Delta x_i são 0, logo \sum f(t_i)\Delta x_i = 0). Como toda soma é 0, o limite quando o calibre vai a zero também é 0. Assim \int_{a}^{a} f(x)\,dx=0.
Comentário amigável: isso é intuitivo — a área quando os limites coincidem é nula.

Passo 4

Enunciar e provar a propriedade de aditividade da integral em intervalos contíguos:
A propriedade é a seguinte: se p\le q\le r e f é integrável, então
\int_{p}^{q} f(x)\,dx + \int_{q}^{r} f(x)\,dx = \int_{p}^{r} f(x)\,dx.
Prova esquemática (construtiva) usando Riemann sums: tome partições P_1 de [p,q] e P_2 de [q,r]. Forme a partição P de [p,r] unindo os pontos de P_1 e P_2 (ou seja, P = P_1 \cup P_2); escolha pontos de amostragem compatíveis com cada subintervalo. O somatório de Riemann em [p,r] relativo a P se separa exatamente na soma dos somatórios em [p,q] e em [q,r]. Quando o calibre das partições vai a zero, os somatórios em cada pedaço convergem para as integrais correspondentes; portanto o somatório total converge para a soma das integras, que é a integral em [p,r]. Assim a aditividade vale.
Interpretação prática: a integral sobre um intervalo pode ser obtida somando as integrais sobre dois pedaços que o formam.

Passo 5

Aplicar a aditividade com escolha estratégica de pontos para obter a propriedade desejada:
Escolha p=a, q=b e r=a na igualdade de aditividade (não é necessário que p\le q\le r na apresentação final; a aditividade também dá a versão adequada mesmo quando trocamos extremos, mas aqui fazemos um raciocínio direto formal):
Usando a propriedade com p=a, q=b e r=a (ou, mais claramente, usando a aditividade no caso geral e o resultado da Passo 3), obtemos
\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{a} f(x)\,dx = \int_{a}^{a} f(x)\,dx.
Pelo que foi provado no Passo 3, \int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0. Portanto
\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{a} f(x)\,dx = 0.
Isolando um termo chega-se à igualdade desejada:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.

Passo 6

Comentário final e interpretação: trocar os limites de integração muda o sinal da integral. Isso é compatível com a ideia geométrica de orientação do intervalo: integrar de a até b tem sinal oposto de integrar de b até a. A demonstração usada apenas a definição por somatórios de Riemann (para justificar que integral em intervalo nulo é zero) e a aditividade (particionar o intervalo), duas propriedades fundamentais e simples da integral definida.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx

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