Exercício teórico (Desafio)
Demonstre as seguintes propriedades elementares da integral definida:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Dados/hipóteses que vamos usar (pressupostos razoáveis e necessários para a afirmação):
e
são números reais e a função
é integrável no intervalo que contém
e
(por exemplo integrável em
). Não se resolve nada ainda; apenas enumerei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Lembrando a definição básica (em linguagem simples) da integral definida por Riemann, para eu poder usar argumentos elementares:
- Uma partição
de um intervalo é uma sequência . Cada segmento tem comprimento . - Um somatório de Riemann associado a
é da forma , onde cada é um ponto escolhido em . - A função
é Riemann-integrável em se, quando o calibre (norma) da partição vai a zero, todos esses somatórios convergem para um mesmo número . Esse número é a integral .
Explicando as letras:são os extremos do intervalo; são pontos da partição; pontos de amostragem; é o tamanho do subintervalo; o somatório aproxima a área abaixo da curva. Essa memória da definição é suficiente para provar propriedades elementares.
Passo 3
Provar que a integral em um intervalo degenerado é zero:
Quero mostrar que
Quero mostrar que
Argumento direto usando Riemann sums: qualquer partição de
tem
, portanto não há subintervalos efetivos e, por convenção, todo somatório de Riemann sobre esse intervalo é
(ou, se preferir ver formalmente, todos os
são
, logo
). Como toda soma é
, o limite quando o calibre vai a zero também é
. Assim
.
Comentário amigável: isso é intuitivo — a área quando os limites coincidem é nula.
Comentário amigável: isso é intuitivo — a área quando os limites coincidem é nula.
Passo 4
Enunciar e provar a propriedade de aditividade da integral em intervalos contíguos:
A propriedade é a seguinte: se e
é integrável, então
A propriedade é a seguinte: se
Prova esquemática (construtiva) usando Riemann sums: tome partições
de
e
de
. Forme a partição
de
unindo os pontos de
e
(ou seja,
); escolha pontos de amostragem compatíveis com cada subintervalo. O somatório de Riemann em
relativo a
se separa exatamente na soma dos somatórios em
e em
. Quando o calibre das partições vai a zero, os somatórios em cada pedaço convergem para as integrais correspondentes; portanto o somatório total converge para a soma das integras, que é a integral em
. Assim a aditividade vale.
Interpretação prática: a integral sobre um intervalo pode ser obtida somando as integrais sobre dois pedaços que o formam.
Interpretação prática: a integral sobre um intervalo pode ser obtida somando as integrais sobre dois pedaços que o formam.
Passo 5
Aplicar a aditividade com escolha estratégica de pontos para obter a propriedade desejada:
Escolha ,
e
na igualdade de aditividade (não é necessário que
na apresentação final; a aditividade também dá a versão adequada mesmo quando trocamos extremos, mas aqui fazemos um raciocínio direto formal):
Usando a propriedade com ,
e
(ou, mais claramente, usando a aditividade no caso geral e o resultado da Passo 3), obtemos
Escolha
Usando a propriedade com
Pelo que foi provado no Passo 3,
. Portanto
Isolando um termo chega-se à igualdade desejada:
Passo 6
Comentário final e interpretação: trocar os limites de integração muda o sinal da integral. Isso é compatível com a ideia geométrica de orientação do intervalo: integrar de
até
tem sinal oposto de integrar de
até
. A demonstração usada apenas a definição por somatórios de Riemann (para justificar que integral em intervalo nulo é zero) e a aditividade (particionar o intervalo), duas propriedades fundamentais e simples da integral definida.