14.4.9 (a) Uma corda está presa em ambas as extremidades
. Admitindo vibrações de pequena amplitude, constatamos que a amplitude
satisfaz a equação de onda
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da onda para a amplitude
de uma corda presa nas duas extremidades
e
:
As condições de contorno impostas pela corda presa são
O que se pede (parte (a) típica deste tipo de exercício) é encontrar as soluções aceitáveis que satisfazem a equação e as condições nas extremidades — isto é, os modos normais (modos próprios) da corda e as frequências associadas — e escrever a solução geral como combinação desses modos. Não há aqui valores de condições iniciais explícitos, então vamos obter a base de modos e a solução geral em série.
Passo 2
Vamos procurar soluções por separação de variáveis, assumindo uma solução do tipo produto entre uma função só de
e outra só de
:
Explicando: isso não resolve todo caso imediatamente, mas para equações lineares homogêneas com condições homogêneas nas extremidades é uma técnica padrão que encontra os modos próprios. Cada produto
que satisfaz a equação e as BC dá um modo. A solução geral será combinação linear (soma) desses modos.
Passo 3
Substituindo
na equação da onda e dividindo por
(assumindo produto não nulo), obtemos
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Para que essa igualdade seja válida para todos
e
, cada lado deve ser igual a uma mesma constante. Denotamos essa constante por
(escolhemos sinal negativo por conveniência, pois buscamos soluções oscilatórias no tempo):
Isso gera dois problemas ordinários:
Passo 4
Vamos analisar os possíveis sinais de
e ver quais levam a soluções não-triviais que satisfaçam
.
-
Se
, escreva com . Então tem soluções exponenciais . Aplicando dá e dá . Essas duas equações só são satisfeitas por , ou seja solução trivial . Então não dá modos úteis. -
Se
, então e . Condições e levam a e , novamente só a solução trivial. -
Logo o caso que interessa é
. Escrevemos com . O problema espacial fica
cuja solução geral é
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno espaciais:
-
Em
: . Portanto . -
Com
, obtemos . Em : . Para uma solução não-trivial precisamos de , logo exigimos
onde
é um inteiro. O caso
dá solução trivial, então tomamos
.
Portanto os valores próprios (autovalores) são
e as funções próprias espaciais correspondentes são (escalando
para 1)
Essas funções satisfazem explicitamente
.
Passo 6
Agora tratamos a equação temporal para cada
:
Definindo a frequência angular
a equação temporal fica
cuja solução geral é
com
e
constantes que serão determinadas por condições iniciais.
Passo 7
Multiplicando
por
obtemos o modo normal correspondente ao índice
:
Esses modos são chamados ondas estacionárias: a dependência em
é fixa (forma do modo) e a dependência em
é um movimento harmônico com frequência
. Observe que há nós (pontos onde
para todo
) em
e também nos pontos interiores onde
, isto é
para
.
Passo 8
Por linearidade da equação e por completude das funções
na base de funções que satisfazem as BC homogêneas, a solução geral é a soma (série) de todos os modos:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Esta é a decomposição usual em modos normais: cada termo oscila com sua própria frequência
.
Passo 9
Se as condições iniciais forem dadas por
então avaliando a série em
e derivando em relação a
em
obtemos
Usando a ortogonalidade das senos
obtemos as fórmulas para os coeficientes:
Essas expressões dizem como projetar as condições iniciais na base de modos para obter a amplitude temporal de cada modo.
Passo 10
Interpretação física e dicas para prova:
- O modo
é o modo fundamental (menor frequência) com . Modos com são harmônicos (sobretons) com frequências proporcionais a . - Em prova, o passo-chave é: separar variáveis, obter condição de contorno para
, exigir solução não-trivial e daí obter . Em seguida identificar . - Se pedirem uma forma específica (por exemplo apenas os modos ou só a solução geral), escreva a resposta correspondente; se pedirem também como obter coeficientes com condições iniciais, use as fórmulas acima.