14.4.9 (a) Uma corda está presa em ambas as extremidades x=0 \mathrm{e} x=L. Admitindo vibrações de pequena amplitude, constatamos que a amplitude y(x, t) satisfaz a equação de onda
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda para a amplitude y(x,t) de uma corda presa nas duas extremidades x=0 e x=L:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
As condições de contorno impostas pela corda presa são
y(0,t)=0,\qquad y(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
O que se pede (parte (a) típica deste tipo de exercício) é encontrar as soluções aceitáveis que satisfazem a equação e as condições nas extremidades — isto é, os modos normais (modos próprios) da corda e as frequências associadas — e escrever a solução geral como combinação desses modos. Não há aqui valores de condições iniciais explícitos, então vamos obter a base de modos e a solução geral em série.

Passo 2

Vamos procurar soluções por separação de variáveis, assumindo uma solução do tipo produto entre uma função só de x e outra só de t:
y(x,t)=X(x)\,T(t).
Explicando: isso não resolve todo caso imediatamente, mas para equações lineares homogêneas com condições homogêneas nas extremidades é uma técnica padrão que encontra os modos próprios. Cada produto X(x)T(t) que satisfaz a equação e as BC dá um modo. A solução geral será combinação linear (soma) desses modos.

Passo 3

Substituindo y(x,t)=X(x)T(t) na equação da onda e dividindo por X(x)T(t) (assumindo produto não nulo), obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{v^{2}}\frac{T''(t)}{T(t)}.
O lado esquerdo depende só de x e o direito só de t. Para que essa igualdade seja válida para todos x e t, cada lado deve ser igual a uma mesma constante. Denotamos essa constante por -\lambda (escolhemos sinal negativo por conveniência, pois buscamos soluções oscilatórias no tempo):
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{v^{2}}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda.
Isso gera dois problemas ordinários:
X''(x)+\lambda X(x)=0,
T''(t)+\lambda v^{2} T(t)=0.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis sinais de \lambda e ver quais levam a soluções não-triviais que satisfaçam X(0)=X(L)=0.
  • Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. Então X''-\mu^{2}X=0 tem soluções exponenciais X=Ae^{\mu x}+Be^{-\mu x}. Aplicando X(0)=0 A+B=0 e X(L)=0 Ae^{\mu L}+Be^{-\mu L}=0. Essas duas equações só são satisfeitas por A=B=0, ou seja solução trivial X\equiv0. Então \lambda<0 não dá modos úteis.
  • Se \lambda=0, então X''=0 e X=ax+b. Condições X(0)=0 e X(L)=0 levam a b=0 e aL=0 \Rightarrow a=0, novamente só a solução trivial.
  • Logo o caso que interessa é \lambda>0. Escrevemos \lambda=k^{2} com k>0. O problema espacial fica
X''(x)+k^{2}X(x)=0,
cuja solução geral é
X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno espaciais:
  • Em x=0: X(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A=0. Portanto A=0.
  • Com A=0, obtemos X(x)=B\sin(kx). Em x=L: X(L)=B\sin(kL)=0. Para uma solução não-trivial precisamos de B\neq0, logo exigimos
\sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,
onde n é um inteiro. O caso n=0 dá solução trivial, então tomamos n=1,2,3,\dots.
Portanto os valores próprios (autovalores) são
k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,\dots
e as funções próprias espaciais correspondentes são (escalando B para 1)
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Essas funções satisfazem explicitamente X_n(0)=X_n(L)=0.

Passo 6

Agora tratamos a equação temporal para cada \lambda=k_n^2:
T''(t)+k_n^{2}v^{2}T(t)=0.
Definindo a frequência angular
\omega_n = k_n v = \frac{n\pi v}{L},
a equação temporal fica
T''(t)+\omega_n^{2}T(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=C_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t),
com C_n e D_n constantes que serão determinadas por condições iniciais.

Passo 7

Multiplicando X_n(x) por T_n(t) obtemos o modo normal correspondente ao índice n:
y_n(x,t)=\bigl(C_n\cos(\omega_n t)+D_n\sin(\omega_n t)\bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Esses modos são chamados ondas estacionárias: a dependência em x é fixa (forma do modo) e a dependência em t é um movimento harmônico com frequência \omega_n. Observe que há nós (pontos onde y=0 para todo t) em x=0,L e também nos pontos interiores onde \sin(n\pi x/L)=0, isto é x=mL/n para m=0,1,\dots,n.

Passo 8

Por linearidade da equação e por completude das funções \sin(n\pi x/L) na base de funções que satisfazem as BC homogêneas, a solução geral é a soma (série) de todos os modos:
y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde A_n e B_n são constantes determinadas pelas condições iniciais. Esta é a decomposição usual em modos normais: cada termo oscila com sua própria frequência \omega_n.

Passo 9

Se as condições iniciais forem dadas por
y(x,0)=f(x),\qquad \frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=g(x),
então avaliando a série em t=0 e derivando em relação a t em t=0 obtemos
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Usando a ortogonalidade das senos
\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{L}{2}\delta_{nm},
obtemos as fórmulas para os coeficientes:
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
B_n=\frac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L}g(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Essas expressões dizem como projetar as condições iniciais na base de modos para obter a amplitude temporal de cada modo.

Passo 10

Interpretação física e dicas para prova:
  • O modo n=1 é o modo fundamental (menor frequência) com \omega_1=\pi v/L. Modos com n>1 são harmônicos (sobretons) com frequências proporcionais a n.
  • Em prova, o passo-chave é: separar variáveis, obter condição de contorno para X, exigir solução não-trivial e daí obter k_n. Em seguida identificar \omega_n=v k_n.
  • Se pedirem uma forma específica (por exemplo apenas os modos ou só a solução geral), escreva a resposta correspondente; se pedirem também como obter coeficientes com condições iniciais, use as fórmulas acima.

Resposta

X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,\dots\n
\omega_n=\dfrac{n\pi v}{L},\quad n=1,2,\dots\n
y_n(x,t)=\bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\n
y(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\n
A_n=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad B_n=\dfrac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L}g(x)\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx

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