Potências de seno e cosseno. Calcule as integrais:
(b) \int \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{4} x\,dx.
Informações dadas: é a integral de uma potência par de cosseno, sem limites (integral indefinida). O objetivo é obter uma antiderivada explicitando a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): quando temos potências pares de seno ou cosseno, a técnica prática é usar a identidade de ângulo duplo para reduzir a potência. Vou explicar a identidade que usamos e por que ela é útil.
Identidade de ângulo duplo para cosseno:
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1.
Essa igualdade vem da identidade trigonométrica básica \cos 2x = \cos^{2}x - \sin^{2}x e da relação \sin^{2}x = 1-\cos^{2}x; substituindo-se obtém-se \cos 2x = 2\cos^{2}x -1.
Isolando \cos^{2}x obtemos a fórmula de redução de potência:
\cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}.
Essa fórmula transforma uma potência quadrada numa combinação de termo constante e cosseno de ângulo duplo, que é muito mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicar a redução à potência \cos^{4}x. Note que
\cos^{4}x = \bigl(\cos^{2}x\bigr)^{2}.
Substituindo \cos^{2}x = \dfrac{1+\cos 2x}{2} obtemos
\cos^{4}x = \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2}.
Agora vamos expandir esse quadrado passo a passo. Primeiro escrever a expansão:
\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2} = \frac{1 + 2\cos 2x + \cos^{2}2x}{4}.

Passo 4

Ainda temos \cos^{2}2x — é outra potência quadrada, então aplicamos a mesma fórmula de redução, agora com argumento 2x:
\cos^{2}2x = \frac{1+\cos 4x}{2}.
Substituindo em \cos^{4}x
\cos^{4}x = \frac{1 + 2\cos 2x + \dfrac{1+\cos 4x}{2}}{4}.
Fazer a soma dentro do numerador: coloque tudo sobre o mesmo denominador 2:
1 + 2\cos 2x + \frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{2 + 4\cos 2x + 1 + \cos 4x}{2} = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{2}.
Portanto
\cos^{4}x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}.
Essa é uma fórmula padrão que reduz \cos^{4}x a termos mais simples (constante e cossenos de múltiplos do ângulo).

Passo 5

Integrar termo a termo usando a decomposição encontrada. Temos
\int \cos^{4}x\,dx = \int \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}\,dx = \int \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right)\,dx.
Regra de integração que vamos usar e que você deve decorar:
  • \displaystyle \int a\,dx = a x para constante a.
  • \displaystyle \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx), pois derivando \sin(kx) obtém-se k\cos(kx).
Agora integramos termo a termo.

Passo 6

Calcular cada integral:
  1. \displaystyle \int \frac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}x.
  2. \displaystyle \int \frac{1}{2}\cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{4}\sin 2x,
    pois aplicamos \int \cos 2x\,dx = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
  3. \displaystyle \int \frac{1}{8}\cos 4x\,dx = \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\sin 4x = \frac{1}{32}\sin 4x,
    pois \int \cos 4x\,dx = \tfrac{1}{4}\sin 4x.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
\int \cos^{4}x\,dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C.

Passo 7

Verificação rápida (método prático para usar na prova): derivando o resultado deve voltar a \cos^{4}x. Diferenciando
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x + \frac{1}{32}\cdot 4\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x,
e isso é exatamente \dfrac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}=\cos^{4}x, que confirma que a antiderivada está correta.

Passo 8

Resumo e dica final: a técnica foi reduzir potências pares usando a identidade de ângulo duplo, expandir e integrar termo a termo. Essa é a técnica padrão para integrar \cos^{n}x quando n é par (mesma ideia vale para \sin^{n}x). Respira fundo — com prática essa sequência vira automática e é rápida na prova.

Resposta

\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x + C

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