Potências de seno e cosseno. Calcule as integrais:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: é a integral de uma potência par de cosseno, sem limites (integral indefinida). O objetivo é obter uma antiderivada explicitando a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): quando temos potências pares de seno ou cosseno, a técnica prática é usar a identidade de ângulo duplo para reduzir a potência. Vou explicar a identidade que usamos e por que ela é útil.
Identidade de ângulo duplo para cosseno:
Essa igualdade vem da identidade trigonométrica básica
e da relação
; substituindo-se obtém-se
.
Isolando
obtemos a fórmula de redução de potência:
Essa fórmula transforma uma potência quadrada numa combinação de termo constante e cosseno de ângulo duplo, que é muito mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicar a redução à potência
. Note que
Substituindo
obtemos
Agora vamos expandir esse quadrado passo a passo. Primeiro escrever a expansão:
Passo 4
Ainda temos
— é outra potência quadrada, então aplicamos a mesma fórmula de redução, agora com argumento
:
Substituindo em
dá
Fazer a soma dentro do numerador: coloque tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto
Essa é uma fórmula padrão que reduz
a termos mais simples (constante e cossenos de múltiplos do ângulo).
Passo 5
Integrar termo a termo usando a decomposição encontrada. Temos
Regra de integração que vamos usar e que você deve decorar:
-
para constante . -
, pois derivando obtém-se .
Agora integramos termo a termo.
Passo 6
Calcular cada integral:
-
-
pois aplicamos. -
pois.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a antiderivada completa:
Passo 7
Verificação rápida (método prático para usar na prova): derivando o resultado deve voltar a
. Diferenciando
e isso é exatamente
, que confirma que a antiderivada está correta.
Passo 8
Resumo e dica final: a técnica foi reduzir potências pares usando a identidade de ângulo duplo, expandir e integrar termo a termo. Essa é a técnica padrão para integrar
quando
é par (mesma ideia vale para
). Respira fundo — com prática essa sequência vira automática e é rápida na prova.