Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
cos (omega x)+omega sen(omega x)+e^x d yd x=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem com condição inicial
cos(omega x)+omegasin(omega x)+e^xdydx=0, y(0)=1
Queremos testar se ela é exata, e, em caso negativo, encontrar um fator integrante adequado para depois obter a solução geral e a particular.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y)=cos(omega x)+omegasin(omega x), N(x,y)=e^x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=e^x,
como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. Sabemos que
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr) =-e^xe^x=-1
de modo que
mu'(x)= -1cdotmu(x) Longrightarrow mu(x)=e^-x

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(x)=e^-x obtemos
e^-xl(cos(omega x)+omegasin(omega x)r),dx + dy = 0
Agora M̃(x,y)=e^-x(cos(omega x)+omegasin(omega x)) e Ñ(x,y)=1 satisfazem
partial M̃/partial y=partial Ñ/partial x=0, ou seja, é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = e^-xl(cos(omega x)+omegasin(omega x)r), partial Phipartial y=1
Integrando em x:
Phi(x,y) =integral e^-xl(cos(omega x)+omegasin(omega x)r),dx +g(y) =-e^-xcos(omega x)+g(y)
Da condição partialPhi/partial y=1 vem g'(y)=1, logo g(y)=y. Assim
Phi(x,y)=y - e^-xcos(omega x)

Passo 6

A solução geral é
Phi(x,y)=C Longrightarrow y - e^-xcos(omega x)=C
Usando y(0)=1 1 - e^0cos(0)=1-1=0, então C=0. A solução particular é
y(x)=e^-xcos(omega x)

Resposta

y(x)=e^-xcos(omega x)

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