Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem com condição inicial
Queremos testar se ela é exata, e, em caso negativo, encontrar um fator integrante adequado para depois obter a solução geral e a particular.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial
onde
Calculamos as derivadas parciais
como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Sabemos que
de modo que
Passo 4
Multiplicando a EDO por
obtemos
Agora
e
satisfazem
, ou seja, é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Da condição
vem
, logo
. Assim
Passo 6
A solução geral é
Usando
dá
, então
. A solução particular é