Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
e) f(x)=\cos x, em torno do ponto \bar{x}=\frac{\pi}{4} rad =45^{\circ}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
Pede a linearização do sistema dado por f(x)=\cos x em torno do ponto de operação \bar{x}=\dfrac{\pi}{4}.\n
Pede também que eu escolha um ponto próximo a \bar{x} (o enunciado sugere usar 0{,}1 a mais ou a menos) e analise a precisão do modelo linear nesse ponto próximo, informando o erro percentual encontrado.\n
Informações relevantes fornecidas: \;f(x)=\cos x e \;\bar{x}=\dfrac{\pi}{4} (ou seja 45^\circ).\n
A resolução começa a partir daqui (passo a passo).
Passo 2
O que é linearização (a ideia, sem fórmulas difíceis):\n
Linearizar uma função em torno de um ponto significa aproximá‑la por uma reta que “toca” a função naquele ponto — essa reta é a aproximação de primeira ordem (expansão de Taylor de ordem 1).\n
Matematicamente, a fórmula da linearização (primeira ordem) em torno de \bar{x} é\nf(x)\approx f(\bar{x}) + f'(\bar{x})\,(x-\bar{x}).\n
Expliquei cada termo: \;f(\bar{x}) é o valor da função no ponto de operação; \;f'(\bar{x}) é a derivada da função avaliada em \bar{x}; \;(x-\bar{x}) é o pequeno deslocamento a partir do ponto de operação. Essa fórmula vem da expansão de Taylor truncada no termo linear — na prova, basta lembrar dessa forma e que precisamos da derivada no ponto.
Passo 3
Calcular f(\bar{x}) e f'(\bar{x}) para a nossa função:\n
A função é f(x)=\cos x. A derivada é f'(x)=-\sin x. (Aqui vale lembrar: a derivada de \cos x é -\sin x; isso é um resultado básico de derivadas de funções trigonométricas.)\n
Avaliando em \bar{x}=\dfrac{\pi}{4}:\nf\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2},\nf'\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\n
Escrever a linearização substituindo os valores encontrados:\n
Usando a fórmula\nf(x)\approx f(\bar{x}) + f'(\bar{x})\,(x-\bar{x}),\n
substituímos \;f(\bar{x})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \;f'(\bar{x})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim a aproximação linear é\n\boxed{\,f_{\text{lin}}(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,(x-\tfrac{\pi}{4})\,}.\n
Se quiser escrita decimal útil na conta: \;f_{\text{lin}}(x)\approx 0{,}7071067812 - 0{,}7071067812\,(x-\tfrac{\pi}{4}).
Passo 5
Escolher pontos próximos a \bar{x} e calcular a previsão linear:\n
Vou usar exatamente o que o enunciado sugeriu: \;x_{\pm}=\bar{x}\pm 0{,}1. Ou seja\nx_+=\frac{\pi}{4}+0{,}1,\qquad x_-=\frac{\pi}{4}-0{,}1.\n
Calculo do valor aproximado dado pelo modelo linear em cada ponto:\n
Para \;x_+: \;x_+-\bar{x}=0{,}1, então\nf_{\text{lin}}(x_+)=\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(0{,}1) = \frac{\sqrt{2}}{2}\big(1-0{,}1\big).\n
Calcular os valores reais f(x)=\cos x nos mesmos pontos (sem usar a reta) para comparar:\n
Para evitar depender de uma calculadora mágica, uso a identidade trigonométrica de soma/ diferença: para a=\dfrac{\pi}{4} e b=0{,}1, temos\n\cos(a\pm b)=\cos a\cos b \mp \sin a\sin b.\n
Como \cos a=\sin a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, fica\n\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\pm 0{,}1\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\cos 0{,}1 \mp \sin 0{,}1\big).\n
Usando valores conhecidos (expansões ou tabela) com boa precisão: \cos 0{,}1\approx 0{,}9950041652780258 e \sin 0{,}1\approx 0{,}09983341664682815.\n
Para x_+ (soma):\nf(x_+)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}+0{,}1\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\cos 0{,}1 - \sin 0{,}1\big).\n
Para x_+:\n\text{erro absoluto}=|0{,}6363961030678929-0{,}6339810996591205| =0{,}0024150034087724,\n\text{erro percentual}\approx\frac{0{,}0024150034087724}{0{,}6339810996591205}\times100\% \approx0{,}3811\%.\n
Para x_-:\n\text{erro absoluto}=|0{,}7778174593052023-0{,}7742323673045476| =0{,}0035850920006547,\n\text{erro percentual}\approx\frac{0{,}0035850920006547}{0{,}7742323673045476}\times100\% \approx0{,}4631\%.\n
Interpretação rápida: com deslocamento de \pm 0{,}1 rad (~5,7°) a linearização em \bar{x}=\tfrac{\pi}{4} produz um erro percentual pequeno, da ordem de poucos décimos de porcento (aprox. 0{,}4\%). Para deslocamentos maiores o erro tende a crescer (porque a aproximação linear ignora termos quadráticos e superiores da série de Taylor).
Resposta
f_{\text{lin}}(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(x-\dfrac{\pi}{4})\n
Erro percentual em x_+=\dfrac{\pi}{4}+0{,}1: \approx 0{,}3811\%\n
Erro percentual em x_-=\dfrac{\pi}{4}-0{,}1: \approx 0{,}4631\%