Exercício (3(1 , 0)) Todo inteiro positivo n>1 admite uma única decomposição da forma
n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}},
onde, para i=1,2, ···, r, cada k_{i} é um inteiro positivo e cada p_{i} e um primo, com p_{1}<p_{2}<···<p_{r}, denominada decomposição canônica do inteiro positivo n>1. Determine a decomposição canônica dos números abaixo:
a) 7240 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a decomposição canônica (fatoração em primos, com fatores em ordem crescente) do número inteiro 7240.
Informações dadas: o número a fatorar é 7240. Não há outras restrições.

Passo 2

Estratégia e ferramentas básicas (sem resolver ainda): para fatorar um inteiro positivo procede-se dividindo por primos pequenos sucessivamente. Regras úteis:
  • Um número é divisível por 2 se o seu último dígito for par (0,2,4,6,8).
  • Um número é divisível por 3 se a soma dos dígitos for múltipla de 3.
  • Um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5.
  • Para verificar se um número m é primo, basta testar divisores primos até \sqrt{m}. Isso porque, se m=ab com a\le b, então a\le\sqrt{m}. Assim, se nenhum primo \le\sqrt{m} divide m, m é primo.
    Vou aplicar essas regras passo a passo, dividindo por 2,3,5,7,11,13,\dots conforme necessário.

Passo 3

Começo pela divisibilidade por 2. O último dígito de 7240 é 0, então 7240 é divisível por 2. Dividindo repetidamente por 2:
7240 \div 2 = 3620,
3620 \div 2 = 1810,
1810 \div 2 = 905.
Extraímos três fatores 2, portanto já sabemos que 2 aparece com expoente pelo menos 3. O quociente restante após essas divisões é 905.

Passo 4

Agora fatoramos 905. Pelo teste do 5, 905 termina em 5, logo é divisível por 5. Dividindo:
905 \div 5 = 181.
Assim, extraímos um fator 5 e o quociente restante é 181.

Passo 5

Restou 181. Preciso verificar se 181 é primo. Calculo \sqrt{181}: como 13^2=169 e 14^2=196, então \sqrt{181} está entre 13 e 14. Logo basta testar os primos \le 13: 2,3,5,7,11,13.
  • Divisível por 2? Não (não é par).
  • Divisível por 3? Soma dos dígitos 1+8+1=10, não múltiplo de 3.
  • Divisível por 5? Não (não termina em 0 nem 5).
  • Divisível por 7? 7\cdot25=175 e 7\cdot26=182, então 181 não é múltiplo de 7.
  • Divisível por 11? 11\cdot16=176, 11\cdot17=187; não é múltiplo de 11.
  • Divisível por 13? 13\cdot13=169, 13\cdot14=182; não é múltiplo de 13.
    Como nenhum primo \le 13 divide 181, pelo critério do passo anterior concluímos que 181 é primo.

Passo 6

Resumo dos fatores extraídos: tiramos 2 três vezes (expoente 3), tiramos 5 uma vez (expoente 1) e restou o primo 181 (expoente 1). Esses são os fatores primos distintos em ordem crescente: 2, 5, 181.
Verificação aritmética (passo de checagem): 2^3=8, 8\cdot5=40, 40\cdot181=40\cdot(180+1)=40\cdot180+40=7200+40=7240. (Mostrou que a multiplicação dos fatores dá o número original.)

Resposta

7240=2^{3}\cdot5\cdot181

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