Exercício (3(1 , 0)) Todo inteiro positivo n>1 admite uma única decomposição da forma
n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}},
onde, para i=1,2, ···, r, cada k_{i} é um inteiro positivo e cada p_{i} e um primo, com p_{1}<p_{2}<···<p_{r}, denominada decomposição canônica do inteiro positivo n>1. Determine a decomposição canônica dos números abaixo:
a) 7240 .
a) 7240 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a decomposição canônica (fatoração em primos, com fatores em ordem crescente) do número inteiro
.
Informações dadas: o número a fatorar é . Não há outras restrições.
Informações dadas: o número a fatorar é
Passo 2
Estratégia e ferramentas básicas (sem resolver ainda): para fatorar um inteiro positivo procede-se dividindo por primos pequenos sucessivamente. Regras úteis:
- Um número é divisível por
se o seu último dígito for par (0,2,4,6,8). - Um número é divisível por
se a soma dos dígitos for múltipla de . - Um número é divisível por
se termina em ou . - Para verificar se um número
é primo, basta testar divisores primos até . Isso porque, se com , então . Assim, se nenhum primo divide , é primo.
Vou aplicar essas regras passo a passo, dividindo porconforme necessário.
Passo 3
Começo pela divisibilidade por
. O último dígito de
é
, então
é divisível por
. Dividindo repetidamente por
:
Extraímos três fatores
, portanto já sabemos que
aparece com expoente pelo menos
. O quociente restante após essas divisões é
.
Passo 4
Agora fatoramos
. Pelo teste do
,
termina em
, logo é divisível por
. Dividindo:
Assim, extraímos um fator
e o quociente restante é
.
Passo 5
Restou
. Preciso verificar se
é primo. Calculo
: como
e
, então
está entre
e
. Logo basta testar os primos
:
.
- Divisível por
? Não (não é par). - Divisível por
? Soma dos dígitos , não múltiplo de . - Divisível por
? Não (não termina em 0 nem 5). - Divisível por
? e , então não é múltiplo de . - Divisível por
? , ; não é múltiplo de . - Divisível por
? , ; não é múltiplo de .
Como nenhum primodivide , pelo critério do passo anterior concluímos que é primo.
Passo 6
Resumo dos fatores extraídos: tiramos
três vezes (expoente
), tiramos
uma vez (expoente
) e restou o primo
(expoente
). Esses são os fatores primos distintos em ordem crescente:
,
,
.
Verificação aritmética (passo de checagem): ,
,
. (Mostrou que a multiplicação dos fatores dá o número original.)
Verificação aritmética (passo de checagem):