Exercício (3(1 , 0)) Todo inteiro positivo n>1 admite uma única decomposição da forma
n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}},
onde, para i=1,2, ···, r, cada k_{i} é um inteiro positivo e cada p_{i} e um primo, com p_{1}<p_{2}<···<p_{r}, denominada decomposição canônica do inteiro positivo n>1. Determine a decomposição canônica dos números abaixo:
a) 2310 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a decomposição canônica do inteiro 2310. Informação dada: todo inteiro n>1 tem uma única decomposição da forma \,n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}}\, com p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r} primos e k_{i} inteiros positivos. Aqui temos n=2310.
O que é preciso fazer: escrever 2310 como produto de primos (em ordem crescente), indicando as potências de cada primo. Estratégia prática (explicação didática): usar divisão sucessiva por primos pequenos (2, 3, 5, 7, 11, …) — chamada “fatoração por divisão sucessiva” — retirando todas as vezes que um primo divide o número até que o quociente seja 1 ou um primo. Isso gera os fatores primos e suas multiplicidades (expoentes).

Passo 2

Um detalhe útil: não é preciso testar todos os números até 2310; basta testar primos até \sqrt{2310}. Calculemos aproximadamente:
\sqrt{2310}\approx 48{,}07.
Portanto, se ao fazer as divisões sucessivas o que restar for maior que 1 e menor ou igual a 48, devemos verificar se é primo; se for primo, ele entra como último fator.

Passo 3

Começamos dividindo por 2 (o menor primo). Como 2310 termina em 0, é divisível por 2.
2310\div2=1155.
Verificamos novamente: 1155 é par? Não. Logo a potência de 2 na fatoração é 2^1.

Passo 4

Agora testamos 3. Regra prática: um número é divisível por 3 se a soma dos dígitos é múltipla de 3. Soma dos dígitos de 1155 é 1+1+5+5=12, que é divisível por 3. Então:
1155\div3=385.
Verificamos novamente: soma dos dígitos de 385 é 3+8+5=16, não múltipla de 3. Logo 3 aparece com expoente 1: 3^1.

Passo 5

Testamos 5. Um número é divisível por 5 se termina em 0 ou 5. Como 385 termina em 5,
385\div5=77.
O quociente 77 não é divisível por 5, logo 5 aparece com expoente 1: 5^1.

Passo 6

Testamos 7. Dividindo:
77\div7=11.
Novamente 11 não é divisível por 7, então 7 aparece com expoente 1: 7^1.

Passo 7

Agora o que resta é 11. Precisamos verificar se 11 é primo. Testando divisibilidade por primos até \sqrt{11} (isto é, por 2 e 3): 11 não é divisível por 2 nem por 3, portanto 11 é primo. Assim o fator final é 11^1. Depois de dividir por 11 obtemos o quociente 1, então terminamos.

Passo 8

Reunindo todos os fatores encontrados, em ordem crescente dos primos, cada um com seu expoente:
2310 = 2^1\;3^1\;5^1\;7^1\;11^1.
Forma equivalente, sem escrever expoente 1 explicitamente:
2310 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11.

Resposta

2310 = 2^1 3^1 5^1 7^1 11^1

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