Exercício (3(1 , 0)) Todo inteiro positivo n>1 admite uma única decomposição da forma
n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}},
onde, para i=1,2, ···, r, cada k_{i} é um inteiro positivo e cada p_{i} e um primo, com p_{1}<p_{2}<···<p_{r}, denominada decomposição canônica do inteiro positivo n>1. Determine a decomposição canônica dos números abaixo:
a) 2310 .
a) 2310 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a decomposição canônica do inteiro
. Informação dada: todo inteiro
tem uma única decomposição da forma
com
primos e
inteiros positivos. Aqui temos
.
O que é preciso fazer: escrever como produto de primos (em ordem crescente), indicando as potências de cada primo. Estratégia prática (explicação didática): usar divisão sucessiva por primos pequenos (2, 3, 5, 7, 11, …) — chamada “fatoração por divisão sucessiva” — retirando todas as vezes que um primo divide o número até que o quociente seja
ou um primo. Isso gera os fatores primos e suas multiplicidades (expoentes).
O que é preciso fazer: escrever
Passo 2
Um detalhe útil: não é preciso testar todos os números até
; basta testar primos até
. Calculemos aproximadamente:
Portanto, se ao fazer as divisões sucessivas o que restar for maior que
e menor ou igual a
, devemos verificar se é primo; se for primo, ele entra como último fator.
Passo 3
Começamos dividindo por
(o menor primo). Como
termina em
, é divisível por
.
Verificamos novamente:
é par? Não. Logo a potência de
na fatoração é
.
Passo 4
Agora testamos
. Regra prática: um número é divisível por
se a soma dos dígitos é múltipla de
. Soma dos dígitos de
é
, que é divisível por
. Então:
Verificamos novamente: soma dos dígitos de
é
, não múltipla de
. Logo
aparece com expoente
:
.
Passo 5
Testamos
. Um número é divisível por
se termina em
ou
. Como
termina em
,
O quociente
não é divisível por
, logo
aparece com expoente
:
.
Passo 6
Testamos
. Dividindo:
Novamente
não é divisível por
, então
aparece com expoente
:
.
Passo 7
Agora o que resta é
. Precisamos verificar se
é primo. Testando divisibilidade por primos até
(isto é, por
e
):
não é divisível por
nem por
, portanto
é primo. Assim o fator final é
. Depois de dividir por
obtemos o quociente
, então terminamos.
Passo 8
Reunindo todos os fatores encontrados, em ordem crescente dos primos, cada um com seu expoente:
Forma equivalente, sem escrever expoente
explicitamente: