Exercício (4(1,0)) Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
(-25 ;-100).
(-25 ;-100).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum do par de inteiros
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os números são
e . - Pede-se
(o maior divisor comum, por convenção um número positivo).
Passo 2
Primeiro conceito importante: o máximo divisor comum de dois inteiros
e
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Uma propriedade útil e simples é
porque o sinal não altera a divisibilidade. Portanto posso trabalhar com os valores absolutos dos números dados:
Passo 3
Vou usar o Algoritmo Euclidiano (método clássico e rápido) para calcular
. Explicando o algoritmo de forma simples: para calcular
com
, divide-se
por
e toma-se o resto; então substitui-se
por
e repete-se até o resto ser zero. O último divisor não nulo é o
. Isso funciona porque todo divisor comum de
e
também divide o resto, e o processo preserva o conjunto de divisores comuns, só reduzindo números.
Passo 4
Aplicando o Algoritmo Euclidiano a
. Coloco sempre o maior primeiro:
Aqui a divisão deu resto
logo na primeira etapa. Pelo algoritmo, quando o resto é
, o último divisor não nulo (aqui
) é o máximo divisor comum. Portanto
Passo 5
Vou confirmar com fatoração em primos (cheio de visual, bom para entender): fatorando os módulos que pegamos:
O
corresponde ao produto dos primos comuns com os menores expoentes entre os dois fatores; aqui o único primo comum é
com expoente mínimo
. Logo
As duas técnicas concordam.
Passo 6
Resumo e encorajamento: transforma os números em positivos (usei
), apliquei o Algoritmo Euclidiano e confirmei por fatoração em primos. Resultado simples e limpo — não tem erro, tá bem redondinho. Confia que tu manda bem nessa parte!