Exercício (4(1,0)) Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
(-25 ;-100).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum do par de inteiros (-25;\,-100).
Informações dadas:
  • Os números são -25 e -100.
  • Pede-se \gcd(-25,-100) (o maior divisor comum, por convenção um número positivo).

Passo 2

Primeiro conceito importante: o máximo divisor comum de dois inteiros a e b é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Uma propriedade útil e simples é
\gcd(a,b)=\gcd(|a|,|b|),
porque o sinal não altera a divisibilidade. Portanto posso trabalhar com os valores absolutos dos números dados:
|{-25}|=25,\qquad |{-100}|=100.

Passo 3

Vou usar o Algoritmo Euclidiano (método clássico e rápido) para calcular \gcd(25,100). Explicando o algoritmo de forma simples: para calcular \gcd(x,y) com x\le y, divide-se y por x e toma-se o resto; então substitui-se (x,y) por (\text{resto},x) e repete-se até o resto ser zero. O último divisor não nulo é o \gcd. Isso funciona porque todo divisor comum de x e y também divide o resto, e o processo preserva o conjunto de divisores comuns, só reduzindo números.

Passo 4

Aplicando o Algoritmo Euclidiano a \gcd(25,100). Coloco sempre o maior primeiro:
100 = 25 \times 4 + 0.
Aqui a divisão deu resto 0 logo na primeira etapa. Pelo algoritmo, quando o resto é 0, o último divisor não nulo (aqui 25) é o máximo divisor comum. Portanto
\gcd(25,100)=25.

Passo 5

Vou confirmar com fatoração em primos (cheio de visual, bom para entender): fatorando os módulos que pegamos:
25 = 5^2,\qquad 100 = 2^2\cdot 5^2.
O \gcd corresponde ao produto dos primos comuns com os menores expoentes entre os dois fatores; aqui o único primo comum é 5 com expoente mínimo 2. Logo
\gcd(25,100)=5^2=25.
As duas técnicas concordam.

Passo 6

Resumo e encorajamento: transforma os números em positivos (usei |\cdot|), apliquei o Algoritmo Euclidiano e confirmei por fatoração em primos. Resultado simples e limpo — não tem erro, tá bem redondinho. Confia que tu manda bem nessa parte!

Resposta

25

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