Exercício 7. Os tons de discagem em telefones (DTMF) são gerados pela soma de duas senoides de frequências específicas. Um engenheiro de telecomunicações precisa projetar um sistema digital para detectar a presença da frequência de 697 Hz , correspondente à primeira linha de tons do teclado.
O sistema de detecção proposto é o seguinte:
  1. O sinal de áudio de entrada, x[n], é amostrado a 8 kHz .
  2. Para detectar a frequência de 697 Hz , o sinal é passado por um filtro ressonador simples (um tipo de filtro passa-banda), cuja equação de diferenças é:
y[n]=\left(2 \cos \left(\omega_{0}\right)\right) y[n-1]-r^{2} y[n-2]+x[n]-r\left(\cos \left(\omega_{0}\right)\right) x[n-1]
Onde \omega_{0}=2 \pi \frac{697}{8000} é a frequência digital normalizada e r é um parâmetro real entre 0 e 1 .
3. A saída, y[n], terá uma amplitude significativamente maior quando a frequência de 697 Hz estiver presente na entrada.
Construa o diagrama de blocos que representa a implementação deste filtro ressonador. O diagrama deve utilizar somadores, multiplicadores para as constantes (considere 2 \cos \left(\omega_{0}\right) e \cos \left(\omega_{0}\right) como constantes précalculadas) e blocos de atraso.

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferenças do filtro ressonador
y[n]=2\cos(\omega_{0})\,y[n-1]\;-\;r^{2}\,y[n-2]\;+\;x[n]\;-\;r\cos(\omega_{0})\,x[n-1]
com \omega_{0}=2\pi\frac{697}{8000}. Precisamos transformar isso num diagrama de blocos usando:
  • dois blocos de atraso z^{-1} para gerar x[n-1], y[n-1] e y[n-2];
  • multiplicadores para as constantes 2\cos(\omega_{0}), r^{2} e r\cos(\omega_{0});
  • somador que combine as quatro contribuições em y[n].

Passo 2

Separamos as quatro ramificações que chegam ao somador final:
  1. A via direta +\;x[n].
  2. O termo de feed-forward atrasado -\,r\cos(\omega_{0})\,x[n-1].
  3. O primeiro termo de realimentação +\;2\cos(\omega_{0})\,y[n-1].
  4. O segundo termo de realimentação -\,r^{2}\,y[n-2].
    Cada ramificação terá atrasos e multiplicadores específicos, e todas se somam para gerar y[n].

Passo 3

Esquematizamos o diagrama de blocos textual assim:
Descrição das ramificações para o somador SUM:
  1. x[n] ───( +1)────► SUM
  2. x[n] ──► z^{-}¹ ──► [× -r\cos(\omega_{0})] ──► SUM
  3. y[n] ──► z^{-}¹ ──► [× 2\cos(\omega_{0})] ──► SUM
  4. y[n] ──► z^{-}¹ ──► z^{-}¹ ──► [× -r^{2}] ──► SUM
O bloco SUM soma essas quatro entradas e sua saída é y[n].

Resposta

Diagrama de blocos (forma direta, direct‐form I):
 ┌──────────────┐
 │ │
 x[n] ────►│ \(+1\) │
 │ │
 └──────────────┘
 │
 ▼
 ┌────────┐
 │ summa │◄─────────────────────────────────┐
 └────────┘ │
 │ │ │
 ▼ │ │
 y[n] │ │
 ▲ │ │
 │ │ │
 ┌───────┴───────┐ ┌────────┐ │ │
 │ │ │ │ │ │
y[n] ──► \(z^{-}\)¹ ──►│ [\(\times 2\) cos(\(\omega_{0}\))] ├──►SUMMATION NODE──► y[n] │ │
 │ │ │ │ │ │
 └───────────────┘ └────────┘ │ │
 │ │
 │ │
 ┌──────────┐ ┌──────────┐ │ │
 │ │ │ │ │ │
y[n] ──► \(z^{-}\)¹ ──►│ delay \(z^{-}\)¹│─►[×(-\(r^{2}\))]────►│ │────────┘ │
 │ │ │ │ │
 └──────────┘ └──────────┘ │
 │
 │
 ┌──────────┐ ┌──────────┐ │
 │ │ │ │ │
x[n] ───► \(z^{-}\)¹ ─►│ delay \(z^{-}\)¹│─►[×(-r cos(\(\omega_{0}\)))]─► │
 │ │ │ │ │
 └──────────┘ └──────────┘ │
 │
 Todas as flechas apontam para o nó de soma (SUM)───┘

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