Tem-se duas barras de comprimento L com a mesma densidade de carga linear \lambda, a qual é uniforme. Ambas as barras estão no plano x y, sendo uma delas ao longo do eixo x e a outra formando um ângulo \theta com o eixo x. Encontre a força que exercem ambas as barras sobre uma carga Q colocada na origem do sistema de coordenadas. Dica: Use o resultado anterior para descompor a força da barra inclinada em suas componentes paralelas aos eixos x e y. Logo, aplique o princípio de superposição.

Passo 1

O problema pede a força exercida por duas barras de comprimento L e densidade linear de carga \lambda sobre uma carga pontual Q colocada na origem. Uma barra está apoiada no eixo x com a extremidade mais próxima ao ponto de carga a uma distância a, ou seja vai de x=a até x=a+L. A outra está inclinada de forma análoga, tendo também a extremidade mais próxima ao ponto de carga a uma distância a, mas formando ângulo \theta com o eixo x. Para resolver, usamos primeiro o resultado para uma barra finita sobre o eixo x, depois estendemos ao caso inclinado decompondo em componentes e, por fim, somamos as forças (princípio da superposição).

Passo 2

Força da barra ao longo do eixo x: escolhemos um elemento dq=\lambda\,dx em x\in[a,a+L]. A distância desse elemento à origem é x, e o módulo do diferencial de força é
dF = k\,\frac{Q\,dq}{x^2} = k\,\frac{Q\,\lambda\,dx}{x^2}
direcionado ao longo de \hat\imath. Integrando de x=a até x=a+L obtemos
F_{x1} = k\,Q\,\lambda\int_{a}^{a+L}\frac{dx}{x^2} = k\,Q\,\lambda\Bigl[\,-\tfrac1{x}\Bigr]_{a}^{a+L} = k\,Q\,\lambda\Bigl(\frac1{a}-\frac1{a+L}\Bigr)\,.

Passo 3

Força da barra inclinada: parametrize por s\in[a,a+L], de modo que cada elemento fica a distância s da origem e faz ângulo \theta com o eixo x. Temos dq=\lambda\,ds e
dF = k\,\frac{Q\,\lambda\,ds}{s^2}\,,
com direção radial (do elemento para a carga em O), i.e. formando ângulo \theta com o eixo x. Assim
dF_x = dF\cos\theta = k\,Q\,\lambda\frac{\cos\theta}{s^2}ds, \quad dF_y = dF\sin\theta = k\,Q\,\lambda\frac{\sin\theta}{s^2}ds.
Integrando s de a a a+L,
F_{x2} = k\,Q\,\lambda\cos\theta\int_{a}^{a+L}\frac{ds}{s^2} = k\,Q\,\lambda\cos\theta\Bigl(\frac1{a}-\frac1{a+L}\Bigr),
F_{y2} = k\,Q\,\lambda\sin\theta\int_{a}^{a+L}\frac{ds}{s^2} = k\,Q\,\lambda\sin\theta\Bigl(\frac1{a}-\frac1{a+L}\Bigr).

Passo 4

Pela superposição, a força total sobre Q é
\mathbf F = (F_{x1}+F_{x2})\,\hat\imath + F_{y2}\,\hat\jmath = k\,Q\,\lambda\Bigl(\frac1{a}-\frac1{a+L}\Bigr) \Bigl[\,(1+\cos\theta)\,\hat\imath + \sin\theta\,\hat\jmath\Bigr].

Resposta

\boxed{ \mathbf F = k\,Q\,\lambda\biggl(\frac1{a}-\frac1{a+L}\biggr) \bigl[(1+\cos\theta)\,\hat\imath + \sin\theta\,\hat\jmath\bigr] }.

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