Tem-se duas barras de comprimento
com a mesma densidade de carga linear
, a qual é uniforme. Ambas as barras estão no plano
, sendo uma delas ao longo do eixo
e a outra formando um ângulo
com o eixo
. Encontre a força que exercem ambas as barras sobre uma carga
colocada na origem do sistema de coordenadas. Dica: Use o resultado anterior para descompor a força da barra inclinada em suas componentes paralelas aos eixos
e
. Logo, aplique o princípio de superposição.
Passo 1
O problema pede a força exercida por duas barras de comprimento
e densidade linear de carga
sobre uma carga pontual
colocada na origem. Uma barra está apoiada no eixo
com a extremidade mais próxima ao ponto de carga a uma distância
, ou seja vai de
até
. A outra está inclinada de forma análoga, tendo também a extremidade mais próxima ao ponto de carga a uma distância
, mas formando ângulo
com o eixo
. Para resolver, usamos primeiro o resultado para uma barra finita sobre o eixo
, depois estendemos ao caso inclinado decompondo em componentes e, por fim, somamos as forças (princípio da superposição).
Passo 2
Força da barra ao longo do eixo
: escolhemos um elemento
em
. A distância desse elemento à origem é
, e o módulo do diferencial de força é
direcionado ao longo de
. Integrando de
até
obtemos
Passo 3
Força da barra inclinada: parametrize por
, de modo que cada elemento fica a distância
da origem e faz ângulo
com o eixo
. Temos
e
com direção radial (do elemento para a carga em O), i.e. formando ângulo
com o eixo
. Assim
Integrando
de
a
,
Passo 4
Pela superposição, a força total sobre
é