Exercício 1.5 Trabalhando em um sistema de coletor de energia solar, você está tentando movimentar partículas carregadas através do interior aberto de um anel carregado uniformemente. Um colega lembra-se vagamente do argumento de Newton e Priestley que a força eletrostática exercida em uma partícula carregada no interior de uma esfera uniformemente carregada é nula. Ele sugere que o mesmo deve ser verdade para um anel carregado. Assim, você pode enviar as partículas por qualquer parte do interior do anel carregado sem que as partículas sintam força elétrica e possam ser desviadas por ela. Você está cético, considerando se deve haver, pelo menos, alguma restrição em relação ao caminho pelo qual você pode enviar as partículas sem que elas
sintam uma força elétrica. Você pode resolver essa dúvida? Discuta.

Passo 1

O enunciado pergunta se, análogo à casca esférica uniformemente carregada (onde o campo no interior é nulo por simetria), um anel uniformemente carregado também teria campo elétrico zero em qualquer ponto de seu “interior”. O conteúdo aqui envolve eletrostática: simetria de distribuição de carga, lei de Gauss e superposição de campos. Vamos comparar o caso da esfera com o do anel e ver por que a conclusão não se transfere.

Passo 2

Na casca esférica uniforme podemos usar a lei de Gauss: pela simetria esférica, qualquer superfície gaussiana dentro da casca não engloba carga, de modo que
\Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}=0
em todo ponto interno. Esse resultado decorre exclusivamente da simetria esférica e da invariância sob rotações.

Passo 3

Um anel carregado não possui simetria esférica nem cilíndrica completa: ele só é simétrico por rotação em torno de seu eixo, mas não em todas as direções. Por isso não podemos aplicar diretamente a lei de Gauss para concluir E=0 em seu interior: não existe superfície gaussiana simples que teste “todo o interior do anel” sem atravessar cargas.

Passo 4

Para ver que o campo não é zero em geral, basta lembrar o resultado padrão do campo no eixo de um anel de raio R e carga total Q. Num ponto do eixo a distância x do centro, o campo tem módulo
E(x) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,x}{\bigl(x^2+R^2\bigr)^{3/2}}
e aponta ao longo do eixo. Ele só se anula em x=0, ou seja, exatamente no centro do anel.

Passo 5

Fora do eixo, a situação é ainda pior: o campo resultante, obtido por integração por superposição dos elementos \lambda\,dl do anel, não cancela completamente. Mesmo num ponto qualquer “dentro” do círculo, os vetores \mathbf{E} oriundos de diferentes partes do anel não se anulam por falta de simetria completa. Portanto, salvo o ponto central, E\neq0.

Passo 6

Conclusão: ao contrário da casca esférica, um anel uniformemente carregado não produz campo nulo em todo o seu interior, apenas no centro geométrico. Logo, partículas carregadas que se desloquem por trajetórias genéricas dentro do anel sofrerão força elétrica, podendo ser desviadas.

Resposta

O campo elétrico no “interior” de um anel carregado não é zero em geral (só no ponto central). Não se pode, portanto, enviar partículas por qualquer caminho dentro do anel sem que sintam força elétrica.

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