Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right)\
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
a_{n}=n \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=n\operatorname{sen}\frac{1}{n}
e pede para decidir se ela converge ou diverge, indicando o critério usado, e, quando possível, calcular o limite.
O conteúdo principal aqui é o estudo de convergência de sequência usando o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 2

Observe que, para n\to\infty, definimos
x_{n}=\frac{1}{n},
logo x_{n}\to0. Reescrevemos
a_{n} = n\operatorname{sen}\frac{1}{n} = \frac{\operatorname{sen}(x_{n})}{x_{n}}.

Passo 3

Aplicamos o limite fundamental: como x_{n}\to0, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(x_{n})}{x_{n}} =\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x} =1.
Esse resultado segue diretamente do conhecido critério do limite \operatorname{sen} x/x.

Passo 4

Portanto, a sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e seu limite é
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}n\operatorname{sen}\frac{1}{n}=1.

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