Descubra o termo geral a_{n} das sequências abaixo:
(1,0,4,2,2,8,4,4,16,8,6,32 \cdots).

Passo 1

O enunciado pede o termo geral a_{n} da sequência
1,\;0,\;4,\;2,\;2,\;8,\;4,\;4,\;16,\;8,\;6,\;32,\dots
Observamos que os valores parecem agrupar-se de três em três, alternando entre potências de 2 e termos da forma 0,2,4,6,\dots. Vamos usar essa periodicidade de período 3 para determinar a_{n} em função da classe de resto de n módulo 3.

Passo 2

Dividimos n em três casos conforme n\bmod3:
  • Se n\equiv1\pmod{3}, então n=3k+1 para algum k\ge0.
  • Se n\equiv2\pmod{3}, então n=3k+2 para algum k\ge0.
  • Se n\equiv0\pmod{3}, então n=3k para algum k\ge1.
Agora precisamos achar a_{3k+1}, a_{3k+2} e a_{3k}.

Passo 3

  1. Para n=3k+1: os termos vistos são
a_{1}=1,\;a_{4}=2,\;a_{7}=4,\;a_{10}=8,\dots
Percebe-se a_{3k+1}=2^{k}.
  1. Para n=3k+2: os termos são
a_{2}=0,\;a_{5}=2,\;a_{8}=4,\;a_{11}=6,\dots
Isso segue a progressão 0,2,4,6,\dots, logo a_{3k+2}=2k.
  1. Para n=3k: os termos são
a_{3}=4,\;a_{6}=8,\;a_{9}=16,\;a_{12}=32,\dots
Aqui nota-se a_{3k}=2^{k+1}.

Passo 4

Reunindo em forma de caso, para todo n\ge1:
a_{n}= \begin{cases} 2^{\frac{n-1}{3}},&\text{se }n\equiv1\pmod{3},\\[6pt] 2\bigl(\tfrac{n-2}{3}\bigr),&\text{se }n\equiv2\pmod{3},\\[6pt] 2^{\frac{n}{3}+1},&\text{se }n\equiv0\pmod{3}. \end{cases}]

Resposta

a_{n}= \begin{cases} 2^{\frac{n-1}{3}},&n\equiv1\pmod{3},\\\\ 2\bigl(\tfrac{n-2}{3}\bigr),&n\equiv2\pmod{3},\\\\ 2^{\frac{n}{3}+1},&n\equiv0\pmod{3}. \end{cases}

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