Exercício 8.-. Um transformador monofásico de 250 kVA , relação 15000 / 250 \mathrm{~V}, 50 \mathrm{~Hz}, possui perdas no ferro de 4000 W e perdas no cobre a plena carga de 5000 W . Calcule:
a) Rendimento a plena carga com fator de potência 0,8 .
b) Rendimento a media carga com fator de potência unitário.
c) Potência de máximo rendimento.
d) Rendimento máximo para um fator de potência 0,9 .

Passo 1

O enunciado dá um transformador monofásico com as seguintes informações (vou listar tudo em forma clara para não nos perder):
\text{Potência nominal aparente }S_{n}=250\\ \text{kVA}=250000\\ \text{VA}ê
\text{Tensão }15000/250\\ \text{V},\\ \text{frequência }50\\ \text{Hz}ãê
\text{Perdas no ferro (constantes): }P_{fe}=4000\\ \text{W}
\text{Perdas no cobre à plena carga: }P_{cu1}=5000\\ \text{W}à
As perguntas pedem:
a) Rendimento à plena carga com fator de potência 0,8.
b) Rendimento à meia carga (interpreto “média carga” como meia carga, i.e., x=0,5) com fator de potência 1,0.
c) Potência de máximo rendimento (ou seja, o carregamento para o qual o rendimento é máximo; depois a gente converte para kVA ou kW conforme fizer sentido).
d) Rendimento máximo para fator de potência 0,9.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (vou explicar tudo devagarinho):
  1. Definição de rendimento (eficiência): é a razão entre potência útil de saída (potência ativa entregue à carga) e potência de entrada. Como desprezamos pequena potência reativa fornecida pelos enrolamentos para o balanço de perdas, usamos a forma usual:
\eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{P_{out}}{P_{out}+P_{perdas}}
onde P_{perdas} é a soma das perdas no ferro e no cobre.
  1. Potência ativa de saída: se o transformador está trabalhando com um fator de potência \text{pf} e com um carregamento fracionário x (fração da carga nominal, x=I/I_{n}=S/S_{n}), temos
P_{out}=S_{n}\cdot x\cdot \text{pf}.
Explicando: S_{n} é a potência aparente nominal em VA; multiplicando por x obtemos a potência aparente entregue naquele instante; multiplicando por \text{pf} obtemos a potência ativa (W) entregue.
  1. Perdas no cobre variam com o quadrado da corrente (ou do carregamento): sendo P_{cu1} as perdas de cobre à plena carga ( x=1), então para qualquer x
P_{cu}(x)=P_{cu1}\cdot x^{2}.
Perdas no ferro P_{fe} são praticamente constantes (independentes de x).
  1. Logo o total de perdas é
P_{perdas}=P_{fe}+P_{cu1}\cdot x^{2}.
  1. Substituindo em \eta:
\eta(x,\text{pf})=\frac{S_{n}\,x\,\text{pf}}{S_{n}\,x\,\text{pf}+P_{fe}+P_{cu1}\,x^{2}}.
Usaremos essa fórmula para calcular os rendimentos pedidos.

Passo 3

Plena carga significa x=1. O fator de potência é \text{pf}=0,8.
  1. Calcular P_{out}:
P_{out}=S_{n}\cdot x\cdot \text{pf}=250000\cdot 1\cdot 0,8=200000\\ \text{W}.
  1. Perdas:
P_{cu}(1)=P_{cu1}=5000\\ \text{W},
P_{perdas}=P_{fe}+P_{cu}=4000+5000=9000\\ \text{W}.
  1. Rendimento:
\eta=\frac{200000}{200000+9000}=\frac{200000}{209000}.
Fazendo a divisão:
\eta\approx 0,956937799\approx 0,95694.
Convertendo para porcentagem: \eta\approx 95,694\%. Vou arredondar para duas casas decimais na resposta final (95,69%).

Passo 4

Meia carga significa x=0,5. O fator de potência é \text{pf}=1,0.
  1. Potência de saída:
P_{out}=S_{n}\cdot x\cdot \text{pf}=250000\cdot 0,5\cdot 1=125000\\ \text{W}.
  1. Perdas no cobre à meia carga:
P_{cu}(0,5)=P_{cu1}\cdot (0,5)^{2}=5000\cdot 0,25=1250\\ \text{W}.
  1. Perdas totais:
P_{perdas}=P_{fe}+P_{cu}=4000+1250=5250\\ \text{W}.
  1. Rendimento:
\eta=\frac{125000}{125000+5250}=\frac{125000}{130250}.
Fazendo a divisão:
\eta\approx 0,959713776\approx 0,95971.
Em porcentagem: \eta\approx 95,971\%. Arredondarei na resposta final para 95,97%.

Passo 5

Queremos a potência de máximo rendimento. Primeiro a propriedade importante:
  • O rendimento de um transformador, em função do carregamento x, tem máximo quando as perdas variáveis (perdas no cobre) são iguais às perdas constantes (perdas no ferro). Isso pode ser demonstrado derivando \eta(x) e igualando a zero, ou simplesmente lembrando o resultado padrão: condição de máximo rendimento é
P_{cu}(x)=P_{fe}.
Usando P_{cu}(x)=P_{cu1}\,x^{2}, obtemos:
P_{cu1}\,x^{2}=P_{fe}\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{\frac{P_{fe}}{P_{cu1}}}.
Substituindo números:
x=\sqrt{\frac{4000}{5000}}=\sqrt{0,8}\approx 0,894427191.
Isto significa que o carregamento para máximo rendimento é cerca de 89,4427\% da carga nominal.
Agora podemos expressar a potência aparente correspondente:
S_{max}=S_{n}\cdot x=250000\cdot 0,894427191\approx 223606,797\\ \text{VA}=223,6068\\ \text{kVA}.
Se quiser a potência ativa de saída neste ponto depende do fator de potência. Para fator de potência unitário ( \text{pf}=1) a potência ativa de saída seria
P_{out,max\,(pf=1)}=223606,797\\ \text{W}\approx 223,6068\\ \text{kW}.
Portanto a “potência de máximo rendimento” sem especificar pf costuma ser dada em kVA como \approx 223,61\\ \text{kVA}. Se for pedida em kW, precisa-se do \text{pf}.

Passo 6

Calcular o rendimento máximo para \text{pf}=0,9. Já achamos que o carregamento ótimo é x=\sqrt{0,8}\approx 0,894427191 (independente do \text{pf}). Agora:
  1. Potência ativa de saída neste ponto:
P_{out}=S_{n}\cdot x\cdot \text{pf}=250000\cdot 0,894427191\cdot 0,9.
Calculemos:
P_{out}\approx 223606,797\cdot 0,9\approx 201246,118\\ \text{W}.
  1. Perdas: na condição ótima P_{cu}=P_{fe}=4000\\ \text{W}. Logo perdas totais:
P_{perdas}=4000+4000=8000\\ \text{W}.
  1. Rendimento máximo (para \text{pf}=0,9):
\eta=\frac{201246,118}{201246,118+8000}=\frac{201246,118}{209246,118}.
Fazendo a divisão:
\eta\approx 0,961764706\approx 0,96176.
Em porcentagem: \eta\approx 96,176\%. Arredondarei na resposta final para 96,18%.

Resposta

(a) \eta=0,95694 (95,69%)
(b) \eta=0,95971 (95,97%)
(c) S_{max}=223{,}6068\\ \text{kVA} (carregamento x\approx 0{,}894427; em kW para \text{pf}=1 seria 223{,}6068\\ \text{kW})
(d) \eta_{\max}=0,96176 (96,18%)

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