Exercício 4.- Um transformador de 10-MVA é requisitado para alimentar um processo industrial com fator de potência unitário. Este transformador alimenta a carga com potência nominal durante 8 horas por dia e permanece em vazio o restante do dia.
O fornecedor A oferece a proposta de um transformador que atende estas exigências com rendimento de 99 \% a plena carga e perdas em vazio de 0,5 \%.
O fornecedor B oferece um transformador pelo mesmo preço com rendimento a plena carga de 98,8 \% e perdas em vazio de 0,3 \%.
a. Qual transformador deve ser escolhido?
b. Se a energia custa \mathrm{R} \ .1,00 / \mathrm{kWh}$, qual será diferença anual no custo da energia entre os dois transformadores?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Escolher qual transformador (fornecedor A ou B) deve ser escolhido, considerando que o transformador de 10\\ \mathrm{MVA} alimenta a carga com fator de potência unitário durante 8 horas por dia (às cargas nominais) e fica em vazio (sem carga) as outras 16 horas do dia.
  2. Calcular a diferença anual no custo de energia entre os dois transformadores, sabendo que o preço da energia é \mathrm{R}\$\,1,00/\mathrm{kWh}.
Informações dadas (resumidas):
  • Potência nominal (à plena carga): 10\\ \mathrm{MVA} com fator de potência unitário, portanto P_{out,\text{nom}} = 10{,}000\\ \mathrm{kW}.
  • Horas a plena carga por dia: 8\\ \mathrm{h}.
  • Horas em vazio por dia: 16\\ \mathrm{h}.
  • Fornecedor A:
    • Rendimento a plena carga: 99\% (ou 0,99).
    • Perdas em vazio: 0,5\% da potência nominal.
  • Fornecedor B:
    • Rendimento a plena carga: 98{,}8\% (ou 0,988).
    • Perdas em vazio: 0,3\% da potência nominal.

Passo 2

Entender a relação entre rendimento e perdas a plena carga. O rendimento a plena carga \eta_{FL} é a razão entre potência útil entregue e potência total fornecida:
\eta_{FL}=\frac{P_{out}}{P_{out}+P_{loss,FL}}.
Isolando P_{loss,FL} (perdas totais à plena carga):
P_{loss,FL}=P_{out}\left(\frac{1}{\eta_{FL}}-1\right).
Aqui P_{out} é a potência de saída (útil) à plena carga, que é 10{,}000\\ \mathrm{kW} (porque 10\\ \mathrm{MVA} a 1{,}0 de fp).
Calculemos as perdas totais à plena carga para cada fornecedor.
Para o fornecedor A ( \eta_A=0,99):
P_{loss,FL}^{(A)}=10{,}000\left(\frac{1}{0{,}99}-1\right)=10{,}000\cdot\frac{0{,}01}{0{,}99}=101{,}010101\ldots\\ \mathrm{kW}.
Para o fornecedor B ( \eta_B=0{,}988):
P_{loss,FL}^{(B)}=10{,}000\left(\frac{1}{0{,}988}-1\right)=10{,}000\cdot\left(\frac{0{,}012}{0{,}988}\right)\approx121{,}4574899\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Converter as perdas em vazio (percentuais) para kW. As perdas em vazio são percentuais da potência nominal P_{out,\text{nom}}=10{,}000\\ \mathrm{kW}.
Para A, perdas em vazio 0{,}5\%:
P_{no}^{(A)}=0{,}005\cdot10{,}000=50\\ \mathrm{kW}.
Para B, perdas em vazio 0{,}3\%:
P_{no}^{(B)}=0{,}003\cdot10{,}000=30\\ \mathrm{kW}.
(Obs.: essa informação usei diretamente do enunciado — as porcentagens de perdas em vazio.)

Passo 4

Separar perdas em vazio (núcleo) e perdas por carga (cobre) à plena carga. As perdas totais à plena carga são soma das perdas em vazio mais as perdas por carga à plena carga:
P_{loss,FL}=P_{no}+P_{cu,FL}.
Logo
P_{cu,FL}=P_{loss,FL}-P_{no}.
Calculemos:
Para A:
P_{cu,FL}^{(A)}=101{,}010101\ldots-50=51{,}010101\ldots\\ \mathrm{kW}.
Para B:
P_{cu,FL}^{(B)}\approx121{,}4574899-30=91{,}4574899\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Como as perdas por cobre variam com o quadrado da corrente ( P_{cu}\propto I^2), e a corrente é proporcional à carga, as perdas por cobre escalam como o quadrado da fração de carga. No nosso caso a máquina opera a 100\% da carga nominal durante 8\\ \mathrm{h} e praticamente 0\% da carga durante 16\\ \mathrm{h}. Assim as perdas por cobre ocorrem apenas nas 8\\ \mathrm{h} a plena carga (vamos desprezar as perdas por corrente de excitação no vazio, que são pequenas comparadas às perdas em vazio fornecidas).
A energia perdida por dia é, portanto:
E_{dia}=P_{cu,FL}\cdot t_{on} + P_{no}\cdot 24,
onde t_{on}=8\\ \mathrm{h} e 24 é o número de horas do dia (no vazio o transformador dissipa P_{no} durante todas as 24 h).
Calculemos energia perdida por dia para cada caso.
Para A:
E_{dia}^{(A)}=51{,}010101\ldots\cdot 8 + 50\cdot 24
E_{dia}^{(A)}=408{,}080808\ldots + 1{,}200 = 1{,}608{,}080808\ldots\\ \mathrm{kWh/dia}.
Para B:
E_{dia}^{(B)}=91{,}4574899\cdot 8 + 30\cdot 24
E_{dia}^{(B)}=731{,}6599192 + 720 = 1{,}451{,}6599192\\ \mathrm{kWh/dia}.
Comparando 1{,}608{,}08\\ \mathrm{kWh/dia} (A) com 1{,}451{,}66\\ \mathrm{kWh/dia} (B), vemos que o transformador do fornecedor B tem menor consumo de energia por dia (menor perda).

Passo 6

Calcular a diferença anual e o custo. Multiplicamos por 365 dias (assumindo ano comercial de 365 dias).
Energia anual perdida:
Para A:
E_{ano}^{(A)}=1{,}608{,}080808\ldots \times 365 = 586{,}949{,}494949\ldots\\ \mathrm{kWh/ano}.
Para B:
E_{ano}^{(B)}=1{,}451{,}6599192 \times 365 \approx 529{,}855{,}870445\\ \mathrm{kWh/ano}.
Diferença anual em energia (A menos B):
\Delta E_{ano}=E_{ano}^{(A)}-E_{ano}^{(B)}\approx57{,}093{,}624504\\ \mathrm{kWh/ano}.
Como a energia custa \mathrm{R}\$\,1{,}00/\mathrm{kWh}, a diferença anual no custo é numericamente igual à diferença de kWh:
\Delta C_{ano}=\mathrm{R}\$\,1{,}00\cdot \Delta E_{ano}\approx \mathrm{R}\$\,57{,}093{,}62\\ \text{por ano}.

Passo 7

Interpretação final e escolha: o fornecedor B provoca menos perdas energéticas ao longo do ano (porque, apesar de ter rendimento um pouco menor à plena carga, suas perdas em vazio são significativamente menores; dado que o transformador permanece em vazio 16 horas por dia, a redução das perdas em vazio compensa a maior perda à plena carga), e isso gera uma economia anual de aproximadamente \mathrm{R}\$\,57{,}093{,}62.

Resposta

Fornecedor B
\mathrm{R}\$\,57{,}093{,}62\\ \text{por ano}

Exercícios relacionados