Exercício 7.- Um transformador monofásico de 10 kVA , relação 500 / 100 \mathrm{~V}, tem as seguintes impedâncias das bobinas:
[
\begin{gathered} Z 1=R 1+j X 1=0,2+j 0,4 \Omega \\ Z 2=R 2+j X 2=0,008+j 0,0016 \Omega \end{gathered}
]
Alimentando o transformador com 500 V (tomando como referência das fases), a corrente de vazio absorvida responde à forma complexa: \mathrm{I}_{0}=0.2<-70^{\circ} \mathrm{A}. Calcule:
a) Valores de E_{1}, E_{2} e V_{2} quando o transformador trabalha em vazio.
b) Se a corrente do secundário é da forma \mathrm{I}_{2}=100<-30^{\circ} \mathrm{A}, calcule os novos valores de \mathrm{E}_{1}, \mathrm{E}_{2} y \mathrm{V}_{2};
c) Regulação de tensão;
d) Rendimento do trafo

Passo 1

O enunciado fornece um transformador monofásico de potência nominal 10\\ \mathrm{kVA} e relação de tensões 500/100\\ \mathrm{V}. As impedâncias das bobinas são:
Z_1 = R_1 + jX_1 = 0{,}2 + j0{,}4\\ \Omega
Z_2 = R_2 + jX_2 = 0{,}008 + j0{,}0016\\ \Omega.
Alimentamos o primário com V_1 = 500\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} (referência de fase). No vazio a corrente primária é
I_0 = 0{,}2\angle -70^\circ\\ \mathrm{A}.
Pedidos:
a) Calcular E_1,\\ E_2,\\ V_2 no vazio (ou seja, sem corrente no secundário).
b) Se a corrente do secundário for I_2 = 100\angle -30^\circ\\ \mathrm{A}, calcular os novos E_1,\\ E_2,\\ V_2.
c) Calcular a regulação de tensão do secundário (em %).
d) Calcular o rendimento (eficiência) do transformador nessa condição de carga.
Informações úteis que usaremos sem provar aqui (serão explicadas nos passos seguintes):
  • Relação de transformação (tensão) a = \dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{500}{100} = 5.
  • Para referir correntes/impedâncias entre lados usa-se Z_2'\!=\!a^2 Z_2 e corrente referida ao primário I_2'=\dfrac{I_2}{a}.
  • Equações do circuito equivalente (sendo sinais convencionais):
V_1 = E_1 + I_1 Z_1, \qquad E_1 = a E_2, \qquad E_2 = V_2 + I_2 Z_2.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a) — caso vazio.
No vazio o secundário não fornece corrente: I_2=0. Assim, a corrente no primário é a corrente de vazio:
I_1 = I_0 = 0{,}2\angle -70^\circ\\ \mathrm{A}.
A equação do primário é
E_1 = V_1 - I_1 Z_1.
Primeiro fazemos a multiplicação complexa I_1 Z_1. Convertemos I_1 para forma retangular:
I_1 = 0{,}2(\cos(-70^\circ) + j\sin(-70^\circ)) = 0{,}068404 - j0{,}187939\\ \mathrm{A}.
Agora
I_1 Z_1 = (0{,}068404 - j0{,}187939)(0{,}2 + j0{,}4).
Fazendo o produto (mostrando contas):
\begin{aligned} \Re &: 0{,}068404\cdot 0{,}2 - (-0{,}187939)\cdot 0{,}4 = 0{,}0136808 + 0{,}0751756 = 0{,}0888564,\\\ \Im &: 0{,}068404\cdot 0{,}4 + (-0{,}187939)\cdot 0{,}2 = 0{,}0273616 - 0{,}0375878 = -0{,}0102262. \end{aligned}
Logo
I_1 Z_1 = 0{,}0888564 - j0{,}0102262\\ \mathrm{V}.
Então
E_1 = V_1 - I_1 Z_1 = 500\angle 0^\circ - (0{,}0888564 - j0{,}0102262).
Em forma retangular:
E_1 = 499{,}9111436 + j0{,}0102262\\ \mathrm{V}.
Convertendo para forma polar (módulo e ângulo):
E_1 \approx 499{,}911\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V}.
Como a relação de transformação é a=5,
E_2 = \frac{E_1}{a} \approx 99{,}9822\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V}.
No vazio não há queda no secundário ( I_2=0 ), portanto
V_2 = E_2 \approx 99{,}9822\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Agora a parte (b) — secundário com carga: I_2 = 100\angle -30^\circ\\ \mathrm{A}.
Primeiro referimos a corrente do secundário ao primário (para somá‑la vetorialmente com I_0):
I_2' = \frac{I_2}{a} = \frac{100\angle -30^\circ}{5} = 20\angle -30^\circ\\ \mathrm{A}.
A corrente primária total é a soma vetorial da corrente de carga referida e da corrente de vazio:
I_1 = I_0 + I_2'.
Convertendo para retangular:
I_0 = 0{,}068404 - j0{,}187939\\ \mathrm{A}, \qquad I_2' = 20(\cos -30^\circ + j\sin -30^\circ) = 17{,}3205 - j10\\ \mathrm{A}.
Somando:
I_1 = 17{,}3889 - j10{,}1879\\ \mathrm{A}.
Encontramos módulo e ângulo:
I_1 \approx 20{,}159\angle -30{,}25^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Com I_1 calculado, usamos a mesma equação do primário:
E_1 = V_1 - I_1 Z_1.
Multiplicamos I_1 Z_1. Usando I_1 em forma retangular 17{,}3889 - j10{,}1879 e Z_1 = 0{,}2 + j0{,}4:
\begin{aligned} \Re(I_1 Z_1) &= 17{,}3889\cdot 0{,}2 - (-10{,}1879)\cdot 0{,}4 = 3{,}47778 + 4{,}07518 = 7{,}55296,\\\ \Im(I_1 Z_1) &= 17{,}3889\cdot 0{,}4 + (-10{,}1879)\cdot 0{,}2 = 6{,}95556 - 2{,}03758 = 4{,}91798. \end{aligned}
Assim
I_1 Z_1 = 7{,}55296 + j4{,}91798\\ \mathrm{V}.
Então
E_1 = 500 - (7{,}55296 + j4{,}91798) = 492{,}44704 - j4{,}91798\\ \mathrm{V}.
Em polar:
E_1 \approx 492{,}471\angle -0{,}5726^\circ\\ \mathrm{V}.
No secundário:
E_2 = \frac{E_1}{a} \approx 98{,}4942\angle -0{,}5726^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Agora calculamos a tensão terminal do secundário V_2 levando em conta a queda na impedância do secundário:
E_2 = V_2 + I_2 Z_2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = E_2 - I_2 Z_2.
Calculamos I_2 Z_2. Primeiro I_2 em retangular:
I_2 = 100\angle -30^\circ = 86{,}60254 - j50\\ \mathrm{A}.
Multiplicando por Z_2 = 0{,}008 + j0{,}0016:
\begin{aligned} \Re(I_2 Z_2) &= 86{,}60254\cdot 0{,}008 - (-50)\cdot 0{,}0016 = 0{,}69282 + 0{,}08 = 0{,}77282,\\\ \Im(I_2 Z_2) &= 86{,}60254\cdot 0{,}0016 + (-50)\cdot 0{,}008 = 0{,}13856 - 0{,}4 = -0{,}26144. \end{aligned}
Logo
I_2 Z_2 = 0{,}77282 - j0{,}26144\\ \mathrm{V}.
Convertimos E_2 para retangular (usando E_2 \approx 98{,}4942\angle -0{,}5726^\circ):
E_2 \approx 98{,}4893 - j0{,}9842\\ \mathrm{V}.
Subtraindo:
V_2 = (98{,}4893 - j0{,}9842) - (0{,}77282 - j0{,}26144) = 97{,}7165 - j0{,}72276\\ \mathrm{V}.
Em polar:
V_2 \approx 97{,}719\angle -0{,}424^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Parte (c): regulação de tensão. Definição usada aqui (padrão) é a variação percentual entre tensão no vazio e tensão a plena carga, tomando a tensão em carga como referência:
\text{Regulação (\%)} = \frac{|V_{2,\text{vazio}}| - |V_{2,\text{carga}}|}{|V_{2,\text{carga}}|}\times 100\%.çã
Usando os valores:
|V_{2,\text{vazio}}| \approx 99{,}9822\\ \mathrm{V},\qquad |V_{2,\text{carga}}| \approx 97{,}719\\ \mathrm{V}.
Portanto
\text{Regulação} = \frac{99{,}9822 - 97{,}719}{97{,}719}\times 100\% \approx 2{,}32\% .çã

Passo 7

Parte (d): rendimento (eficiência). Precisamos das potências ativas: potência útil de saída P_\text{out} e perdas (ferro + cobre).
  1. Potência de saída (ativa) no secundário:
S_2 = V_2 I_2^* \quad\Rightarrow\quad P_\text{out} = \Re(V_2 I_2^*).
Usando V_2 = 97{,}7165 - j0{,}72276 e I_2^* = 100\angle +30^\circ = 86{,}60254 + j50:
produto:
V_2 I_2^* \approx 8498{,}64 + j4823{,}22\\ \mathrm{VA},
logo
P_\text{out} \approx 8498{,}64\\ \mathrm{W}.
  1. Perdas no cobre:
P_{\text{cu1}} = I_1^2 R_1,\qquad P_{\text{cu2}} = I_2^2 R_2.
Usando I_1 \approx 20{,}159\\ \mathrm{A}:
P_{\text{cu1}} = (20{,}159)^2\cdot 0{,}2 \approx 81{,}278\\ \mathrm{W}.
Usando I_2 = 100\\ \mathrm{A}:
P_{\text{cu2}} = 100^2\cdot 0{,}008 = 80\\ \mathrm{W}.
  1. Perdas no ferro (ou perdas core) obtidas a partir da componente em fase da corrente de vazio I_0. A componente ativa de I_0 é I_{0,\text{act}} = I_0\cos 70^\circ = 0{,}068404\\ \mathrm{A}. Como V_1=500\\ \mathrm{V},
P_{\text{ferro}} = V_1\cdot I_{0,\text{act}} = 500\cdot 0{,}068404 \approx 34{,}202\\ \mathrm{W}.
Total de perdas:
P_{\text{perdas}} = P_{\text{ferro}} + P_{\text{cu1}} + P_{\text{cu2}} \approx 34{,}202 + 81{,}278 + 80 = 195{,}48\\ \mathrm{W}.
  1. Rendimento:
\eta = \frac{P_\text{out}}{P_\text{out} + P_{\text{perdas}}} = \frac{8498{,}64}{8498{,}64 + 195{,}48}\approx 0{,}9775 \approx 97{,}75\%.

Resposta

(a) E_1 \approx 499{,}911\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V},\quad E_2 \approx 99{,}9822\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_2 \approx 99{,}9822\angle 0{,}0012^\circ\\ \mathrm{V}.
(b) E_1 \approx 492{,}471\angle -0{,}5726^\circ\\ \mathrm{V},\quad E_2 \approx 98{,}4942\angle -0{,}5726^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_2 \approx 97{,}719\angle -0{,}424^\circ\\ \mathrm{V}.
(c) Regulação \approx 2{,}32\%.
(d) Rendimento \eta \approx 97{,}75\%.

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