Exercício 9.-. Um transformador monofásico de 100-\mathrm{kVA}, 11.000: 2.200 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz} apresenta os seguintes parâmetros do circuito equivalente referidos ao lado da AT.
\mathrm{R}_{1}=6,1 \Omega \mathrm{R}^{\prime}{ }_{2}=7,2 \Omega
\mathrm{Xd}_{1}=31,2 \Omega \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{d}_{2}=31,2 \Omega
\mathrm{Xm}=57.300 \Omega \mathrm{Rfe}=124.000 \Omega
Este transformador alimenta \operatorname{com} 2.200 \mathrm{~V} uma carga de impedância 50 \Omega com fator de potência 0,7 indutivo. Desenhe, não em escala, o diagrama de fasores das várias grandezas e ângulos de fase para esta condição de operação. Determine também a tensão e o fator de potência nos terminais da AT.

Passo 1

O enunciado fornece um transformador monofásico 100\text{-}\mathrm{kVA},\;11.000:2.200\\ \mathrm{V},\;60\\ \mathrm{Hz} com parâmetros referidos ao lado da AT (alta tensão) e pede que desenhemos o diagrama de fasores e determinem a tensão e o fator de potência nos terminais da AT quando o enrolamento de BT está conectado a uma carga. Dados fornecidos (todos referidos ao lado da AT):
\begin{aligned} &R_1=6{,}1\\ \Omega,\quad R'_2=7{,}2\\ \Omega,\\\ &X_{d1}=31{,}2\\ \Omega,\quad X'_{d2}=31{,}2\\ \Omega,\\\ &X_m=57.300\\ \Omega,\quad R_{fe}=124.000\\ \Omega. \end{aligned}
A carga ligada ao lado de 2{,}200\\ \mathrm{V} tem impedância \;Z_{\mathrm{load}}=50\\ \Omega com fator de potência 0{,}7 indutivo. Perguntas do enunciado:
  • Desenhar (não em escala) o diagrama de fasores das várias grandezas e ângulos de fase para essa condição de operação.
  • Determinar a tensão nos terminais da AT e o fator de potência nos terminais da AT.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a carga e as grandezas para o lado da AT (regras de reflexão). O fator de transformação (tensão) é
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{11.000}{2.200}=5.
Regras importantes (explicação rápida):
  • Para refletir uma impedância do lado de BT para AT: \;Z' = a^2 Z.
  • Para refletir correntes do lado de BT para AT: \;I' = I/a.
  • Para refletir tensões: \;V' = a V.
Agora calculamos a corrente na carga e sua reflexão:
A carga tem \mathrm{pf}=0{,}7 indutiva, logo o ângulo da impedância é
\theta_Z=\operatorname{arccos}(0{,}7)\approx 45{,}573^\circ.
A impedância da carga em forma fasorial é
Z_{\mathrm{load}}=50\angle 45{,}573^\circ\\ \Omega.
Tomamos a tensão do lado de BT como referência de fase:
V_2=2.200\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
A corrente no lado de BT é
I_2=\frac{V_2}{Z_{\mathrm{load}}}=\frac{2.200\angle 0^\circ}{50\angle 45{,}573^\circ}=44\angle -45{,}573^\circ\\ \mathrm{A}.
Refletindo para AT:
I'_2=\frac{I_2}{a}=8{,}8\angle -45{,}573^\circ\\ \mathrm{A}.
Refletindo a impedância da carga para AT:
Z'_{\mathrm{load}}=a^2 Z_{\mathrm{load}}=25\cdot 50\angle 45{,}573^\circ=1250\angle 45{,}573^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Agora identificamos a tensão interna induzida (no lado da AT) correspondente a V_2. Se desprezarmos deslocamentos por saturação, a tensão induzida referida ao lado da AT é simplesmente
E_1=a\;V_2=5\cdot 2.200\angle 0^\circ=11.000\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Comentário didático: E_1 é a f.e.m. induzida no lado da AT que corresponde à tensão terminal do lado da BT multiplicada por a. A tensão nos terminais da AT, V_1, será E_1 somada ao efeito da queda de tensão nas impedâncias série do transformador quando a corrente de carga circula.

Passo 4

Precisamos do ramo magnetizante (em paralelo) referido à AT. Primeiro encontramos a impedância equivalente do ramo de excitação (paralelo de R_{fe} com jX_m). A fórmula para paralelo é
Z_m=\left(\frac{1}{R_{fe}}+\frac{1}{jX_m}\right)^{-1}.
Calculando passo a passo:
\frac{1}{R_{fe}}=\frac{1}{124000}=8{,}064516\cdot 10^{-6}, \qquad \frac{1}{jX_m}=-j\frac{1}{57.300}=-j1{,}7452\cdot 10^{-5}.
Portanto
\frac{1}{Z_m}=8{,}0645\cdot 10^{-6}-j1{,}7452\cdot 10^{-5}.
Invertendo (mostrando o procedimento mas sem complicar demais):
Z_m\approx 21.822{,}3 + j47.245{,}3\\ \Omega.
Agora a corrente magnetizante (referida à AT) é a tensão interna E_1 dividida por Z_m:
I_m=\frac{E_1}{Z_m}=\frac{11.000\angle 0^\circ}{21.822{,}3 + j47.245{,}3}\approx 0{,}2114\angle -65{,}649^\circ\\ \mathrm{A}.
Interpretação: I_m é muito pequena (cerca de 0{,}21\\ \mathrm{A}), porque X_m e R_{fe} são muito grandes; portanto a maior parte da corrente no primário será a corrente refletida da carga.

Passo 5

A corrente que atravessa as impedâncias série do transformador (corrente que circula por R_1+R'_2+j(X_{d1}+X'_{d2})) é a soma fasorial da corrente refletida da carga I'_2 com a corrente magnetizante I_m:
I_1=I'_2 + I_m.
Vamos somar em componentes retangulares (método prático):
Para I'_2=8{,}8\angle -45{,}573^\circ:
I'_2=6{,}160 - j6{,}2838\\ \mathrm{A}.
Para I_m=0{,}2114\angle -65{,}649^\circ:
I_m\approx 0{,}0873 - j0{,}1925\\ \mathrm{A}.
Somando:
I_1\approx (6{,}160+0{,}0873) - j(6{,}2838+0{,}1925)\approx 6{,}2473 - j6{,}4763\\ \mathrm{A}.
Módulo e ângulo:
|I_1|\approx 9{,}00\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_1\approx -46{,}89^\circ.
Comentário didático: para somar fasores é mais simples convertê-los em forma retangular (parte real + j parte imaginária), somar as componentes e reencontrar módulo e argumento.

Passo 6

Agora calculamos a queda de tensão nas impedâncias série totais, cuja soma é
Z_s=R_1+R'_2+j(X_{d1}+X'_{d2})=(6{,}1+7{,}2)+j(31{,}2+31{,}2)=13{,}3 + j62{,}4\\ \Omega.
A queda de tensão é
\Delta V = I_1\;Z_s.
Multiplicando complexos (faça em retangular como fizemos):
\Delta V \approx 487{,}212 + j303{,}697\\ \mathrm{V},
ou em forma fasorial
\Delta V \approx 574{,}08\angle 32{,}80^\circ\\ \mathrm{V}.
Explicação: a queda tem uma parte real (queda resistiva) e uma parte imaginária (queda reativa). O ângulo da queda indica sua orientação no diagrama fasorial.

Passo 7

A tensão no terminal da AT é a soma fasorial da f.e.m. induzida E_1 com a queda \Delta V (lembre: o terminal vê V_1=E_1+\Delta V):
V_1=E_1+\Delta V = 11.000\angle 0^\circ + (487{,}212 + j303{,}697).
Em forma retangular:
V_1\approx 11.487{,}212 + j303{,}697\\ \mathrm{V}.
Módulo e ângulo:
|V_1|\approx 11.498{,}0\\ \mathrm{V}\quad\text{(ou }11{,}498\\ \mathrm{kV}\text{)},\qquad \angle V_1\approx 1{,}516^\circ.
Interpretação: a tensão na AT ficou um pouco maior que 11{,}000\\ \mathrm{V} e com pequeno avanço de fase.

Passo 8

Agora calculamos o fator de potência nos terminais da AT. O fator de potência é o cosseno do ângulo entre a tensão no terminal da AT e a corrente de entrada ( I_1 ). Assim:
\varphi=\angle V_1 - \angle I_1 = 1{,}516^\circ - (-46{,}89^\circ)=48{,}406^\circ.
O fator de potência:
\mathrm{pf}=\cos(48{,}406^\circ)\approx 0{,}666.
Como a corrente tem ângulo negativo (isto é, atrasa em relação à tensão), o fator de potência é de natureza atrasada (lagging, ou indutivo).

Passo 9

Descrição verbal do diagrama de fasores (como desenhar, não em escala):
  • Escolha V_2 como referência horizontal para a direita ( 0^\circ).
  • E_1=aV_2=11.000\angle 0^\circ fica colinear com V_2 (mesma direção, maior magnitude).
  • I_2 aponta para baixo à esquerda com ângulo -45{,}573^\circ (corrente da carga).
  • Refletido para AT, I'_2 tem mesma direção mas menor magnitude ( 8{,}8\\ \mathrm{A}).
  • I_m é um pequeno fasor (~ 0{,}21\\ \mathrm{A}) com ângulo -65{,}65^\circ, portanto apontando mais para baixo.
  • I_1 (a soma) fica aproximadamente em -46{,}89^\circ, ligeiramente mais atrasada que I'_2.
  • A queda \Delta V é um fasor de magnitude ~ 574\\ \mathrm{V} com ângulo +32{,}80^\circ (isto é, apontando para cima e à direita em relação à referência).
  • Somando \Delta V a E_1 obtemos V_1 que fica pouco adiantada ( +1{,}516^\circ) e de magnitude \approx 11{,}498\\ \mathrm{kV}.
    Desenhe esses vetores seguindo essas magnitudes e ângulos; veja que a queda de tensão é pequena em relação a E_1 e que I_m é quase desprezível comparado a I'_2.

Resposta

V_{AT}=11{,}498\\ \mathrm{kV}\angle 1{,}516^\circ
\mathrm{pf}_{AT}=0{,}666 (atrasado)

Exercícios relacionados