- Exercício 1.2 - Uma transmissão por engrenagens consiste de um pinhão cilíndrico de dentes retos com 21 dentes, acionando por uma coroa com 44 dentes. Para uma largura de (11 x m) e módulo 6 mm, determine o fator de segurança correspondente ao critério da resistência. As engrenagens são de aço carbono (com
GPa e
) endurecido por completo grau 1 com dureza 280 Brinell. O pinhão gira a 750 rpm transmitindo 20000 W de potência, tem índice de qualidade AGMA 7 e deve ser projetado para
ciclos numa confiabilidade de
. Supor ângulo de pressão de
e um fator de sobrecarga de 1,5. Adotar, ainda, um fator
e engrenagens de média precisão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos tratando de um problema de transmissão por engrenagens, mais especificamente, precisamos calcular o fator de segurança baseado no critério de resistência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica das engrenagens, como módulo, força de contato, e as normas AGMA para determinar a durabilidade e resistência das engrenagens envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as características básicas das engrenagens envolvidas:
- Pinhão: 21 dentes
- Coroa: 44 dentes
- Módulo (m): 6 mm
- Largura da engrenagem (b): 11 * m = 11 * 6 mm = 66 mm
- Ângulo de pressão (α): 20°
- Velocidade do pinhão (n): 750 rpm
- Potência transmitida §: 20.000 W
- Fator de sobrecarga (K_t): 1,5
- Fator J1: 0,30
- Precisão das engrenagens: média
- Material: aço carbono endurecido (E = 210 GPa, v = 0,3, dureza Brinell 280)
Passo 3
Vamos começar calculando a rapidez angular do pinhão e da coroa. Como sabemos, o produto do número de dentes pela rotação é constante para engrenagens m esféricas, ou seja:
Onde:
- $ n_p $ = rotação do pinhão = 750 rpm
- $ z_p $ = número de dentes do pinhão = 21
- $ z_c $ = número de dentes da coroa = 44
- $ n_c $ = rotação da coroa
Resolvendo para $ n_c $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o diâmetro primitivo de cada engrenagem usando o módulo:
Para o pinhão:
Para a coroa:
Passo 5
Em seguida, determinamos o torque transmitido pelo pinhão. A relação entre potência ($ P
T
n $) é dada por:
Rearranjando para encontrar $ T $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular a força tangencial ($ F_t $) no pinhão usando:
Substituindo os valores:
Passo 7
Utilizando a teoria da resistência das engrenagens, precisamos calcular o esforço de contato e o esforço de flexão. Para simplificar, vamos focar no fator de segurança pela flexão dos dentes, que é comum em projetos de engrenagens de aço.
A fórmula do fator de segurança ($ SF $) pela flexão é:
Onde:
- $ \sigma_{HB} $ é a tensão admissível do material (obtida a partir da dureza Brinell)
- $ \sigma_{flexão} $ é a tensão de flexão calculada
Passo 8
Primeiro, determinamos a tensão admissível ($ \sigma_{HB} $). A relação entre dureza Brinell e resistência à tração para aço carbono pode ser aproximada por:
Passo 9
Agora, calculamos a tensão de flexão ($ \sigma_{flexão} $) usando a fórmula:
Onde:
- $ F_t $ = força tangencial = 4033,65 N
- $ K_t $ = fator de sobrecarga = 1,5
- $ Y $ = fator de geometria (para engrenagens de dentes retos e círculo evolvente, usualmente $ Y \approx 0.484 $ para este caso)
- $ b $ = largura da engrenagem = 66 mm
- $ m $ = módulo = 6 mm
- $ J_1 $ = fator de empuxo = 0,30
Substituindo os valores:
Passo 10
Finalmente, calculamos o fator de segurança:
Resposta
O fator de segurança correspondente ao critério da resistência é aproximadamente 34,13.