1. Exercício 1.2 - Uma transmissão por engrenagens consiste de um pinhão cilíndrico de dentes retos com 21 dentes, acionando por uma coroa com 44 dentes. Para uma largura de (11 x m) e módulo 6 mm, determine o fator de segurança correspondente ao critério da resistência. As engrenagens são de aço carbono (com E=210 GPa e v=0,3) endurecido por completo grau 1 com dureza 280 Brinell. O pinhão gira a 750 rpm transmitindo 20000 W de potência, tem índice de qualidade AGMA 7 e deve ser projetado para 10^9 ciclos numa confiabilidade de 92 %. Supor ângulo de pressão de 20^circ e um fator de sobrecarga de 1,5. Adotar, ainda, um fator J1=0,30 e engrenagens de média precisão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos tratando de um problema de transmissão por engrenagens, mais especificamente, precisamos calcular o fator de segurança baseado no critério de resistência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica das engrenagens, como módulo, força de contato, e as normas AGMA para determinar a durabilidade e resistência das engrenagens envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características básicas das engrenagens envolvidas:
  • Pinhão: 21 dentes
  • Coroa: 44 dentes
  • Módulo (m): 6 mm
  • Largura da engrenagem (b): 11 * m = 11 * 6 mm = 66 mm
  • Ângulo de pressão (α): 20°
  • Velocidade do pinhão (n): 750 rpm
  • Potência transmitida §: 20.000 W
  • Fator de sobrecarga (K_t): 1,5
  • Fator J1: 0,30
  • Precisão das engrenagens: média
  • Material: aço carbono endurecido (E = 210 GPa, v = 0,3, dureza Brinell 280)

Passo 3

Vamos começar calculando a rapidez angular do pinhão e da coroa. Como sabemos, o produto do número de dentes pela rotação é constante para engrenagens m esféricas, ou seja:
np times zp = nc times zc
Onde:
  • $ n_p $ = rotação do pinhão = 750 rpm
  • $ z_p $ = número de dentes do pinhão = 21
  • $ z_c $ = número de dentes da coroa = 44
  • $ n_c $ = rotação da coroa
Resolvendo para $ n_c $:
np

Passo 4

Agora, vamos calcular o diâmetro primitivo de cada engrenagem usando o módulo:
d = m times z
Para o pinhão:
dp = 6 , mm times 21 = 126 , mm
Para a coroa:
dc = 6 , mm times 44 = 264 , mm

Passo 5

Em seguida, determinamos o torque transmitido pelo pinhão. A relação entre potência ($ P P T T n $) é dada por:
n
Rearranjando para encontrar $ T $:
P = 2 pi n T60
Substituindo os valores:
T

Passo 6

Agora, vamos calcular a força tangencial ($ F_t $) no pinhão usando:
Ft
Substituindo os valores:
Ft = 2 Tdp

Passo 7

Utilizando a teoria da resistência das engrenagens, precisamos calcular o esforço de contato e o esforço de flexão. Para simplificar, vamos focar no fator de segurança pela flexão dos dentes, que é comum em projetos de engrenagens de aço.
A fórmula do fator de segurança ($ SF $) pela flexão é:
SF ã
Onde:
  • $ \sigma_{HB} $ é a tensão admissível do material (obtida a partir da dureza Brinell)
  • $ \sigma_{flexão} $ é a tensão de flexão calculada

Passo 8

Primeiro, determinamos a tensão admissível ($ \sigma_{HB} $). A relação entre dureza Brinell e resistência à tração para aço carbono pode ser aproximada por:
sigmaHB

Passo 9

Agora, calculamos a tensão de flexão ($ \sigma_{flexão} $) usando a fórmula:
sigmaf<=xão ã
Onde:
  • $ F_t $ = força tangencial = 4033,65 N
  • $ K_t $ = fator de sobrecarga = 1,5
  • $ Y $ = fator de geometria (para engrenagens de dentes retos e círculo evolvente, usualmente $ Y \approx 0.484 $ para este caso)
  • $ b $ = largura da engrenagem = 66 mm
  • $ m $ = módulo = 6 mm
  • $ J_1 $ = fator de empuxo = 0,30
Substituindo os valores:
sigmaf<=xão = Ft cdot Kt cdot Yb cdot m cdot J1 ã

Passo 10

Finalmente, calculamos o fator de segurança:
SF = sigmaHBsigmaf<=xão = 84024,63 approx 34,13 ã

Resposta

O fator de segurança correspondente ao critério da resistência é aproximadamente 34,13.

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