(a) Supondo uma solução do tipo
para a equaçāo
obtenha uma equaçâo diferencial para
. (b) Obtenha
e
para o oscilador criticamente amortecido.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema oscilatório com amortecimento:
E estamos supondo que a solução dessa equação tem a forma:
Aqui,
é uma função que precisamos encontrar. O conteúdo envolvido é de Equações Diferenciais, especificamente equações de segunda ordem que modelam sistemas oscilatórios amortecidos. Para resolver isso, vamos substituir a forma proposta de
na equação diferencial e descobrir qual equação
precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
em relação ao tempo, porque a equação diferencial envolve
(segunda derivada) e
(primeira derivada).
A função que temos é:
Então, a primeira derivada em relação a
é:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Novamente, aplicando a regra do produto em cada termo:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribuímos os
na segunda parte:
Agora, observamos que alguns termos se cancelam:
E:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 6
Como todo termo tem o fator
, podemos dividir a equação por
(desde que
, o que é sempre verdade):
Podemos rearranjar os termos para obter a equação diferencial para
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação diferencial obtida para
:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas puras, a solução geral para
é:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b) da questão, que trata do oscilador criticamente amortecido. O amortecimento crítico ocorre quando o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, ou seja, quando
:
Substituindo
na equação para
:
A solução geral para essa equação é:
Resposta
Para o oscilador criticamente amortecido, as soluções são:
e, portanto,
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.