(a) Supondo uma solução do tipo
x(t)=gamma(t) e^-beta t
para a equaçāo
ddotx+2 beta dotx+omega0^2 x=0
obtenha uma equaçâo diferencial para gamma(t). (b) Obtenha gamma(t) e x(t) para o oscilador criticamente amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema oscilatório com amortecimento:
ddotx + 2 beta dotx + omega0^2 x = 0
E estamos supondo que a solução dessa equação tem a forma:
x(t) = gamma(t) e^-beta t
Aqui, gamma(t) é uma função que precisamos encontrar. O conteúdo envolvido é de Equações Diferenciais, especificamente equações de segunda ordem que modelam sistemas oscilatórios amortecidos. Para resolver isso, vamos substituir a forma proposta de x(t) na equação diferencial e descobrir qual equação gamma(t) precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de x(t) em relação ao tempo, porque a equação diferencial envolve ddotx (segunda derivada) e dotx (primeira derivada).
A função que temos é:
x(t) = gamma(t) e^-beta t
Então, a primeira derivada em relação a t é:
dotx(t) = ddt [gamma(t) e^-beta t] = gamma'(t) e^-beta t - beta gamma(t) e^-beta t
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de f(t)g(t) é f'(t)g(t) + f(t)g'(t).

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de x(t):
ddotx(t) = ddt [gamma'(t) e^-beta t - beta gamma(t) e^-beta t]
Novamente, aplicando a regra do produto em cada termo:
ddotx(t) = gamma''(t) e^-beta t - beta gamma'(t) e^-beta t - beta gamma'(t) e^-beta t + beta^2 gamma(t) e^-beta t
Simplificando os termos:
ddotx(t) = gamma''(t) e^-beta t - 2 beta gamma'(t) e^-beta t + beta^2 gamma(t) e^-beta t

Passo 4

Agora que temos ddotx(t), dotx(t) e x(t), vamos substituir esses na equação diferencial original:
ddotx + 2 beta dotx + omega0^2 x = 0
Substituindo:
[gamma''(t) e^-beta t - 2 beta gamma'(t) e^-beta t + beta^2 gamma(t) e^-beta t] + 2 beta [gamma'(t) e^-beta t - beta gamma(t) e^-beta t] + omega0^2 [gamma(t) e^-beta t] = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, distribuímos os 2 beta na segunda parte:
gamma''(t) e^-beta t - 2 beta gamma'(t) e^-beta t + beta^2 gamma(t) e^-beta t + 2 beta gamma'(t) e^-beta t - 2 beta^2 gamma(t) e^-beta t + omega0^2 gamma(t) e^-beta t = 0
Agora, observamos que alguns termos se cancelam:
-2 beta gamma'(t) e^-beta t + 2 beta gamma'(t) e^-beta t = 0
E:
beta^2 gamma(t) e^-beta t - 2 beta^2 gamma(t) e^-beta t = -beta^2 gamma(t) e^-beta t
Então, a expressão simplificada fica:
gamma''(t) e^-beta t - beta^2 gamma(t) e^-beta t + omega0^2 gamma(t) e^-beta t = 0

Passo 6

Como todo termo tem o fator e^-beta t, podemos dividir a equação por e^-beta t (desde que e^-beta t neq 0, o que é sempre verdade):
gamma''(t) - beta^2 gamma(t) + omega0^2 gamma(t) = 0
Podemos rearranjar os termos para obter a equação diferencial para gamma(t):
gamma''(t) + (omega0^2 - beta^2) gamma(t) = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação diferencial obtida para gamma(t):
gamma''(t) + (omega0^2 - beta^2) gamma(t) = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral depende das raízes da equação característica:
r^2 + (omega0^2 - beta^2) = 0 implies r = pm i raizomega0^2 - beta^2
Como as raízes são complexas puras, a solução geral para gamma(t) é:
gamma(t) = C1 cos(raizomega0^2 - beta^2 , t) + C2 sin(raizomega0^2 - beta^2 , t)

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b) da questão, que trata do oscilador criticamente amortecido. O amortecimento crítico ocorre quando o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, ou seja, quando omega0^2 - beta^2 = 0:
omega0^2 - beta^2 = 0 implies omega0 = beta
Substituindo omega0 = beta na equação para gamma(t):
gamma''(t) = 0
A solução geral para essa equação é:
gamma(t) = C1 + C2 t

Resposta

Para o oscilador criticamente amortecido, as soluções são:
gamma(t) = C1 + C2 t
e, portanto,
x(t) = (C1 + C2 t) e^-beta t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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