Um pequeno bloco de massa m é liberado a partir do repouso do topo de uma rampa que faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. O bloco percorre uma distância l sobre a rampa até chegar a sua base. Calcule a velocidade do bloco ao chegar à base da rampa considerando que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa seja mu (suponha mu<1 / raiz3 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco descendo uma rampa inclinada a 30^circ. O bloco começa parado e desliza por uma distância l até a base. Queremos descobrir qual a velocidade dele na base, levando em conta o atrito entre o bloco e a rampa. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional que o bloco tem no topo da rampa. A fórmula é:
U = m cdot g cdot h
Aqui, h é a altura da rampa, que podemos encontrar usando o seno do ângulo:
h = l cdot sin(30^circ)
Então, a energia potencial fica:
U = m cdot g cdot l cdot sin(30^circ)

Passo 3

Quando o bloco chega na base da rampa, ele tem energia cinética. A fórmula para a energia cinética é:
K = 12 m cdot v^2
Onde v é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Durante o movimento, o bloco também perde energia por causa do atrito. O trabalho realizado pela força de atrito é:
Watrito = mu cdot N cdot l
Aqui, mu é o coeficiente de atrito e N é a força normal. A força normal numa rampa inclinada é:
N = m cdot g cdot cos(30^circ)
Então, o trabalho do atrito fica:
Watrito = mu cdot m cdot g cdot cos(30^circ) cdot l

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação de energia. A energia potencial no topo é igual à energia cinética na base mais o trabalho do atrito:
U = K + Watrito
Substituindo as fórmulas que encontramos:
m cdot g cdot l cdot sin(30^circ) = 12 m cdot v^2 + mu cdot m cdot g cdot cos(30^circ) cdot l

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar v. Primeiro, podemos cancelar o m dos dois lados:
g cdot l cdot sin(30^circ) = 12 v^2 + mu cdot g cdot cos(30^circ) cdot l
Multiplicando toda a equação por 2 para facilitar:
2 g l sin(30^circ) = v^2 + 2 mu g l cos(30^circ)
Isolando v^2:
v^2 = 2 g l sin(30^circ) - 2 mu g l cos(30^circ)
Fatorando 2 g l:
v^2 = 2 g l (sin(30^circ) - mu cos(30^circ))
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar v:
v = raiz2 g l (sin(30^circ) - mu cos(30^circ))

Resposta

Substituindo sin(30^circ) = 12 e cos(30^circ) = raiz32, a velocidade na base da rampa é:
v = raizg l (1 - mu raiz3)

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