EXERCícIO 2:
O trecho AB é constituído por bipolos lineares ideais. Quando submetido a tensão v=220 cos (10 t+309) V, ele consome a potência P=1000 W, com o fator de potência raiz22 atrasado. Determinar:
A natureza dos bipolos B1 e B2, especificando os seus parâmetros caracteristicos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um trecho AB composto por dois bipolos lineares ideais, ou seja, componentes como resistores, indutores ou capacitores. Quando aplicamos uma tensão de $ v(t) = 220 \cos(10 t + 309) $ V nesse trecho, ele consome uma potência de 1000 W com um fator de potência de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ atrasado. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de bipolos são $ B_1 $ e $ B_2 $ e determinar seus parâmetros característicos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos de corrente alternada (AC), como potência, fator de potência, impedância e análise fasorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um fator de potência de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ atrasado. O fator de potência (FP) indica a relação entre a potência real (ativa) e a potência aparente no circuito. Um FP atrasado geralmente está associado a componentes indutivos, enquanto um FP adiantado está ligado a componentes capacitivos. Como o FP é atrasado, isso sugere que temos indutância no circuito.

Passo 3

Vamos calcular a potência aparente (S) usando a fórmula:
P = S cdot FP
Onde:
  • $ P = 1000 $ W
  • $ FP = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Reorganizando para encontrar S:
P = 1000

Passo 4

Agora, sabemos que a potência aparente também é dada por:
S = Vrms times Irms
Primeiro, vamos converter a tensão máxima $ V_{máx} = 220 $ V para tensão eficaz (RMS):
Vmáx = 220 á
Agora, podemos encontrar a corrente eficaz $ I_{rms} $:
Vrms = Vmáxraiz2 = 2201.4142 approx 155.56 V

Passo 5

Sabemos que a impedância total do circuito $ Z $ é dada por:
Z
Como o fator de potência é atrasado e temos impedância, isso sugere que $ Z $ tem uma parte resistiva e uma parte indutiva. Podemos expressar $ Z $ como:
Z = VrmsIrms = 155.569.09 approx 17.11 Omega
Onde:
  • $ R $ é a resistência
  • $ X_L $ é a reatância indutiva
  • $ j $ é a unidade imaginária

Passo 6

Vamos encontrar o ângulo de fase $ \phi $ usando o fator de potência:
phi
Isso significa que:
cos(phi) = FP = raiz22 implies phi = 45^circ
E a reatância indutiva:
RZ = cos(45^circ) = raiz22 implies R = Z cdot raiz22 approx 17.11 times 0.7071 approx 12.1 Omega

Passo 7

Agora que sabemos $ R $ e $ X_L $, podemos determinar a indutância $ L $ usando a fórmula da reatância indutiva:
R

Passo 8

Como o trecho AB é composto por dois bipolos lineares ideais, podemos supor que $ B_1 $ seja um resistor e $ B_2 $ seja um indutor, ou vice-versa. Com base na análise, temos:
  • $ B_1 $: Resistor com resistência $ R = 12.1 \ \Omega $
  • $ B_2 $: Indutor com indutância $ L = 1.21 \ H $

Resposta

Os bipolos $ B_{1} $ e $ B_{2} $ são, respectivamente, um resistor de resistência $ 12,1 \ \Omega $ e um indutor com indutância de $ 1,21 \ H $.

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