Exercício 8. Um tubo de Pitot é usado para medir a vazão de água no centro de um tubo de diâmetro interno de
. A leitura do manômetro é de 78 mm . O coeficiente do Pitot é de 0,98 .
Dados:
a) Calcule a velocidade no centro e a velocidade média no tubo.
Resp. vmáx
; vméd
b) Calcule a vazão volumétrica de água no tubo.
a) Calcule a velocidade no centro e a velocidade média no tubo.
b) Calcule a vazão volumétrica de água no tubo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima,
) e a velocidade média no tubo ( ). - (b) Calcular a vazão volumétrica de água no tubo (
).
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
Pronto — agora que sabemos exatamente o que é pedido e todos os dados, começamos a resolver.
Passo 2
Entender como o manômetro traduz a leitura
em diferença de pressão
.
- Explicação física curta e didática: o tubo de Pitot mede a diferença entre pressão de estagnação (onde o fluido foi parado) e a pressão estática do fluido em escoamento. Essa diferença de pressão
é transmitida ao manômetro que contém um fluido de densidade . Como há dois fluidos (água no tubo e fluido do manômetro), a diferença de pressão que gerou a coluna é
- Aqui cada símbolo significa:
-
: diferença de pressão entre estagnação e estático (Pa), -
: densidade do fluido do manômetro (kg/m^3), -
: densidade da água (kg/m^3), -
: gravidade (m/s^2), -
: diferença de altura lida no manômetro (m).
-
Agora calculamos numericamente
:
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 3
Relacionar
com a velocidade no centro usando Bernoulli e o coeficiente do Pitot.
- Conceito: para um escoamento incompressível, entre um ponto estático e o ponto de estagnação (onde a velocidade é nula) a equação de Bernoulli dá
- Na prática real, o tubo de Pitot tem um coeficiente
que corrige pequenas diferenças (arranjos do tubo, perdas locais etc.). Assim a fórmula prática que usamos é
- Onde:
-
é a velocidade no centro (m/s), -
é o coeficiente do Pitot (adimensional), -
é a diferença de pressão obtida no Passo 2 (Pa), -
é a densidade da água.
-
Agora substituímos os números:
Calculemos dentro da raiz:
Multiplicando pelo coeficiente:
Assim obtivemos
Passo 4
Converter a velocidade no centro para velocidade média no tubo (
) — e justificar a conversão.
- Explicação didática: em um tubo circular a velocidade não é uniforme no raio; é máxima no centro e menor perto da parede. Para escoamento laminar o perfil é parabólico e a relação é
. Para escoamento turbulento o perfil é mais “achatado” e a razão depende do regime (número de Reynolds). Uma aproximação prática muito usada para escoamento turbulento em tubos é
valor que corresponde a um perfil típico (1/7ª potência ou similar) e é apropriado quando o escoamento é turbulento (Re grande).
- Vamos verificar se o escoamento é turbulento calculando um Re aproximado usando
estimado (podemos iterar, mas uma iteração não é necessária para esta precisão).
Primeiro calculamos
com o fator empírico:
Agora o número de Reynolds:
onde
é a viscosidade absoluta da água em
(
).
Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Como
, o escoamento é bem turbulento — logo o fator empírico
é adequado.
Concluímos:
Passo 5
Calcular a vazão volumétrica
.
- Fórmula:
, onde é a área da seção transversal do tubo. - A área de um círculo é
.
Calculemos
:
Agora a vazão:
Em litros por segundo: