Exercício 8. Um tubo de Pitot é usado para medir a vazão de água no centro de um tubo de diâmetro interno de 102,3 \mathrm{~mm}. A leitura do manômetro é de 78 mm . O coeficiente do Pitot é de 0,98 .
Dados: \mathrm{\rho H}_{2} \mathrm{O}=998,23 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\rho m=1586,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\mu \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=1,005 \mathrm{cP}
a) Calcule a velocidade no centro e a velocidade média no tubo.
Resp. vmáx =0,9372 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; vméd =0,773 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) Calcule a vazão volumétrica de água no tubo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima, v_{\text{máx}}á) e a velocidade média no tubo ( v_{\text{méd}}é).
  2. (b) Calcular a vazão volumétrica de água no tubo ( Q).
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &D = 102{,}3\\ \mathrm{mm} = 0{,}1023\\ \mathrm{m},\\\ &\text{leitura do manômetro: } h = 78\\ \mathrm{mm} = 0{,}078\\ \mathrm{m},\\\ &\text{coeficiente do Pitot: } C = 0{,}98,\\\ &\rho_{\mathrm{H_2O}} = 998{,}23\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\rho_{m} = 1586{,}7\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(densidade do fluido do manômetro)},\\\ &\mu_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}005\\ \mathrm{cP} = 1{,}005\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(aceleração da gravidade, tomaremos este valor).} \end{aligned}ôôçã
Pronto — agora que sabemos exatamente o que é pedido e todos os dados, começamos a resolver.

Passo 2

Entender como o manômetro traduz a leitura h em diferença de pressão \Delta p.
  • Explicação física curta e didática: o tubo de Pitot mede a diferença entre pressão de estagnação (onde o fluido foi parado) e a pressão estática do fluido em escoamento. Essa diferença de pressão \Delta p é transmitida ao manômetro que contém um fluido de densidade \rho_m. Como há dois fluidos (água no tubo e fluido do manômetro), a diferença de pressão que gerou a coluna h é
\Delta p = (\rho_m - \rho_{\mathrm{H_2O}})\,g\,h.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \Delta p: diferença de pressão entre estagnação e estático (Pa),
    • \rho_m: densidade do fluido do manômetro (kg/m^3),
    • \rho_{\mathrm{H_2O}}: densidade da água (kg/m^3),
    • g: gravidade (m/s^2),
    • h: diferença de altura lida no manômetro (m).
Agora calculamos numericamente \Delta p:
\begin{aligned} \Delta p &= (\rho_m - \rho_{\mathrm{H_2O}})\,g\,h\\[4pt] &= (1586{,}7 - 998{,}23)\times 9{,}81\times 0{,}078\\ \mathrm{Pa}. \end{aligned}
Calculemos passo a passo:
\rho_m - \rho_{\mathrm{H_2O}} = 588{,}47\\ \mathrm{kg/m^3},
588{,}47\times 9{,}81 = 5772{,}90\\ \mathrm{(aprox.)},
\Delta p = 5772{,}90\times 0{,}078 \approx 450{,}29\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\Delta p \approx 450{,}29\\ \mathrm{Pa}.]

Passo 3

Relacionar \Delta p com a velocidade no centro usando Bernoulli e o coeficiente do Pitot.
  • Conceito: para um escoamento incompressível, entre um ponto estático e o ponto de estagnação (onde a velocidade é nula) a equação de Bernoulli dá
p_{\text{estagnação}} - p_{\text{estático}} = \tfrac{1}{2}\rho_{\mathrm{H_2O}}\,v^2.çãá
  • Na prática real, o tubo de Pitot tem um coeficiente C que corrige pequenas diferenças (arranjos do tubo, perdas locais etc.). Assim a fórmula prática que usamos é
v_{\text{máx}} = C\,\sqrt{\dfrac{2\Delta p}{\rho_{\mathrm{H_2O}}}}.á
  • Onde:
    • v_{\text{máx}}á é a velocidade no centro (m/s),
    • C é o coeficiente do Pitot (adimensional),
    • \Delta p é a diferença de pressão obtida no Passo 2 (Pa),
    • \rho_{\mathrm{H_2O}} é a densidade da água.
Agora substituímos os números:
v_{\text{máx}} = 0{,}98\sqrt{\dfrac{2\times 450{,}29}{998{,}23}}\\ \mathrm{m/s}.á
Calculemos dentro da raiz:
2\times 450{,}29 = 900{,}58,
\dfrac{900{,}58}{998{,}23} \approx 0{,}9029,
\sqrt{0{,}9029} \approx 0{,}9502.
Multiplicando pelo coeficiente:
v_{\text{máx}} \approx 0{,}98\times 0{,}9502 \approx 0{,}9310\\ \mathrm{m/s}.á
Assim obtivemos
v_{\text{máx}} \approx 0{,}9310\\ \mathrm{m/s}.á

Passo 4

Converter a velocidade no centro para velocidade média no tubo ( v_{\text{méd}}é) — e justificar a conversão.
  • Explicação didática: em um tubo circular a velocidade não é uniforme no raio; é máxima no centro e menor perto da parede. Para escoamento laminar o perfil é parabólico e a relação é v_{\text{máx}}=2\,v_{\text{méd}}áé. Para escoamento turbulento o perfil é mais “achatado” e a razão v_{\text{méd}}/v_{\text{máx}}éá depende do regime (número de Reynolds). Uma aproximação prática muito usada para escoamento turbulento em tubos é
v_{\text{méd}} \approx 0{,}825\,v_{\text{máx}},éá
valor que corresponde a um perfil típico (1/7ª potência ou similar) e é apropriado quando o escoamento é turbulento (Re grande).
  • Vamos verificar se o escoamento é turbulento calculando um Re aproximado usando v_{\text{méd}}é estimado (podemos iterar, mas uma iteração não é necessária para esta precisão).
Primeiro calculamos v_{\text{méd}}é com o fator empírico:
v_{\text{méd}} = 0{,}825\,v_{\text{máx}} \approx 0{,}825\times 0{,}9310 \approx 0{,}7676\\ \mathrm{m/s}.éá
Agora o número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \dfrac{\rho_{\mathrm{H_2O}}\,v_{\text{méd}}\,D}{\mu},é
onde \mu é a viscosidade absoluta da água em \mathrm{Pa\cdot s} ( \mu = 1{,}005\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
Substituindo:
\mathrm{Re} \approx \dfrac{998{,}23\times 0{,}7676\times 0{,}1023}{1{,}005\times 10^{-3}}.
Calculemos passo a passo:
0{,}7676\times 0{,}1023 \approx 0{,}07851,
998{,}23 \times 0{,}07851 \approx 78{,}39,
\mathrm{Re} \approx \dfrac{78{,}39}{1{,}005\times 10^{-3}} \approx 77{,}980.
Como \mathrm{Re}\approx 7{,}8\times 10^{4}\gg 4{,}000, o escoamento é bem turbulento — logo o fator empírico 0{,}825 é adequado.
Concluímos:
v_{\text{méd}} \approx 0{,}7676\\ \mathrm{m/s}.é

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q.
  • Fórmula: \displaystyle Q = v_{\text{méd}} \cdot Aé, onde A é a área da seção transversal do tubo.
  • A área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
Calculemos A:
D^2 = (0{,}1023)^2 = 0{,}01046529\\ \mathrm{m^2},
A = \dfrac{\pi}{4}\times 0{,}01046529 \approx 0{,}0082211\\ \mathrm{m^2}.
Agora a vazão:
Q = v_{\text{méd}}\times A \approx 0{,}7676\times 0{,}0082211 \approx 0{,}00631\\ \mathrm{m^3/s}.é
Em litros por segundo:
Q \approx 6{,}31\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

v_{\text{máx}} \approx 0{,}9310\\ \mathrm{m/s}á
v_{\text{méd}} \approx 0{,}7676\\ \mathrm{m/s}é
Q \approx 0{,}00631\\ \mathrm{m^3/s}

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