Sendo x e y variáveis reais, tais que 0<x \leq 2 e y=4 x^{2}-4 x, podemos concluir que:
a) 0<y \leq 8
b) 0 \leq y \leq 8
c) 0<y \leq 2
d) -1 \leq y \leq 8
e) y>-1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • As variáveis são reais e satisfazem 0<x\leq 2.
  • A relação entre x e y é y=4x^{2}-4x.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o intervalo de valores possíveis de y quando x varia em 0<x\leq2, e escolher a alternativa correta entre (a) a (e).

Passo 2

Vamos analisar a função quadrática
y=4x^{2}-4x.
Regra rápida sobre quadráticas que vamos usar: se uma função tem forma \,ax^{2}+bx+c com a>0, o gráfico é uma parábola que se abre para cima; isso significa que ela tem um mínimo (o vértice) e não tem máximo global. O valor mínimo ocorre no eixo do vértice x=-\dfrac{b}{2a}. Outra forma muito útil é completar o quadrado para ver claramente o vértice.

Passo 3

Vamos completar o quadrado em y=4x^{2}-4x. Primeiro fatoramos o 4:
y=4\bigl(x^{2}-x\bigr).
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: para x^{2}-x adicionamos e subtraímos \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}:
x^{2}-x = \bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Substituindo de volta,
y=4\Bigl(\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr) =4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-1.

Passo 4

Da expressão
y=4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-1
fica claro que:
  • o termo 4\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} é sempre \geq 0 para todo x real, e é 0 exatamente quando x=\tfrac{1}{2};
  • portanto y atinge seu valor mínimo -1 quando x=\tfrac{1}{2}. Como x=\tfrac{1}{2} satisfaz 0<x\leq2, esse mínimo -1 é alcançado no intervalo dado.

Passo 5

Para encontrar o máximo relativo ao intervalo 0<x\leq2 observamos que a parábola abre para cima ( a=4>0), logo não há máximo global para toda a reta, mas em um intervalo fechado ou semi-fechado o maior valor ocorrerá em uma das extremidades do intervalo. Nosso intervalo é semi-aberto à esquerda: 0<x\leq2. As extremidades a considerar são:
  • o lado direito x=2 (está incluído);
  • o lado esquerdo x\to 0^{+} (o ponto x=0 não está incluído).

Passo 6

Calculamos y nas posições relevantes:
  • Em x=2:
y(2)=4\cdot 2^{2}-4\cdot 2 = 16-8 = 8.
  • Em x=\tfrac{1}{2} já vimos que y=-1.
  • Para x\to 0^{+} temos y=4x^{2}-4x \to 0 (mais precisamente, para pequenos x>0, y é negativo e próximo de 0). Mas note que x=1 pertence ao intervalo e dá
y(1)=4\cdot1^{2}-4\cdot1=0,
portanto y=0 está efetivamente alcançado no intervalo (em x=1).

Passo 7

Juntando as informações:
  • o menor valor de y no intervalo 0<x\leq2 é -1 e é atingido (em x=\tfrac{1}{2});
  • o maior valor de y no intervalo é 8 e é atingido (em x=2);
    logo o conjunto de valores possíveis de y é o intervalo fechado
-1 \leq y \leq 8.

Resposta

d) -1 \leq y \leq 8

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