Sendo
e
variáveis reais, tais que
e
, podemos concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- As variáveis são reais e satisfazem
. - A relação entre
e é .
O que o enunciado pede:
- Determinar o intervalo de valores possíveis de
quando varia em , e escolher a alternativa correta entre (a) a (e).
Passo 2
Vamos analisar a função quadrática
Regra rápida sobre quadráticas que vamos usar: se uma função tem forma
com
, o gráfico é uma parábola que se abre para cima; isso significa que ela tem um mínimo (o vértice) e não tem máximo global. O valor mínimo ocorre no eixo do vértice
. Outra forma muito útil é completar o quadrado para ver claramente o vértice.
Passo 3
Vamos completar o quadrado em
. Primeiro fatoramos o
:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese: para
adicionamos e subtraímos
:
Substituindo de volta,
Passo 4
Da expressão
fica claro que:
- o termo
é sempre para todo real, e é exatamente quando ; - portanto
atinge seu valor mínimo quando . Como satisfaz , esse mínimo é alcançado no intervalo dado.
Passo 5
Para encontrar o máximo relativo ao intervalo
observamos que a parábola abre para cima (
), logo não há máximo global para toda a reta, mas em um intervalo fechado ou semi-fechado o maior valor ocorrerá em uma das extremidades do intervalo. Nosso intervalo é semi-aberto à esquerda:
. As extremidades a considerar são:
- o lado direito
(está incluído); - o lado esquerdo
(o ponto não está incluído).
Passo 6
Calculamos
nas posições relevantes:
- Em
:
- Em
já vimos que . - Para
temos (mais precisamente, para pequenos , é negativo e próximo de ). Mas note que pertence ao intervalo e dá
portanto
está efetivamente alcançado no intervalo (em
).
Passo 7
Juntando as informações:
- o menor valor de
no intervalo é e é atingido (em ); - o maior valor de
no intervalo é e é atingido (em );
logo o conjunto de valores possíveis deé o intervalo fechado
Resposta
d)