Um peso de 32 lb é preso a uma mola vertical, fazendo com que ela se estique por 6 polegadas para chegar ao repouso no equilíbrio. A constante de amortecimento para o sistema é 2 lb -s/pé. Uma força externa F(t)=4 \cos (8 t) lb é aplicada ao peso. Ache uma solução em regime estacionário para o sistema. Qual é sua frequência de ressonância?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • Peso: \,32\\ \text{lb}.
    • A mola estica 6 polegadas para o equilíbrio. (Note: 6 in = 0,5 ft.)
    • Constante de amortecimento: \,2\\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}.
    • Força externa: \,F(t)=4\cos(8t)\\ \text{lb}.
  • Perguntas:
    1. Encontrar uma solução em regime estacionário (ou seja, a resposta forçada permanente, depois que os transientes morreram).
    2. Qual é a frequência de ressonância do sistema?

Passo 2

Converter unidades e achar massa e constante da mola (sem pular etapas).
  • A gravidade no sistema de unidades empregado é \,g=32\\ \text{ft/s}^2. A massa (em slugs) é dada por \,m=\dfrac{\text{peso}}{g}.
    m=\dfrac{32}{32}=1\\ \text{slug}.
    Aqui cada passo foi mostrado: peso dividido por g dá a massa.
  • A mola, em repouso, tem força elástica igual ao peso: \,k\Delta x = \text{peso}. A elongação \Delta x é 6 polegadas =0,5 ft, então
    k=\dfrac{\text{peso}}{\Delta x}=\dfrac{32}{0,5}=64\\ \text{lb/ft}.
  • O coeficiente de amortecimento já está dado como \,c=2\\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}.
Resumo numérico que vamos usar:
m=1,\qquad c=2,\qquad k=64,\qquad F(t)=4\cos(8t).

Passo 3

Escrever a equação do movimento e explicar cada termo.
  • Para um sistema massa-mola-amortecedor vertical (convenção usual), a equação diferencial é
m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = F(t),
onde:
  • x(t) é o deslocamento vertical (positivo para baixo ou para cima conforme convenção; aqui só precisamos da resposta temporal),
  • m é a massa ( \text{slug}),
  • c é o coeficiente de amortecimento ( \text{lb}\cdot\text{s/ft}),
  • k é a constante elástica ( \text{lb/ft}),
  • F(t) é a força externa ( \text{lb}).
  • Substituindo os valores:
x''(t) + 2 x'(t) + 64 x(t) = 4\cos(8t).
(Dividi tudo por m=1, por isso os coeficientes aparecem como estão.)

Passo 4

Definir “regime estacionário” e o método para achar a solução forçada permanente.
  • Regime estacionário = solução particular que tem a mesma frequência da força externa; transientes (solução homogenea) morrem devido ao amortecimento.
  • Para forçamento \cos(8t) tentamos uma solução particular da forma
x_p(t)=A\cos(8t)+B\sin(8t),
onde A,B são constantes a determinar. Essa é uma técnica padrão: assumir uma combinação de cosseno e seno com a mesma frequência do forçamento.

Passo 5

Calcular as derivadas de x_p e substituir na ODE (mostrar cada conta).
  • Derivadas com \omega=8:
x_p'(t)=-A\cdot 8\sin(8t)+B\cdot 8\cos(8t),
x_p''(t)=-A\cdot 8^2\cos(8t)-B\cdot 8^2\sin(8t).
  • Substituindo em x''+2x'+64x=4\cos(8t):
\big(-A\cdot 8^2\cos(8t)-B\cdot 8^2\sin(8t)\big) +2\big(-A\cdot 8\sin(8t)+B\cdot 8\cos(8t)\big) +64\big(A\cos(8t)+B\sin(8t)\big)=4\cos(8t).
  • Agrupando os coeficientes de \cos(8t) e \sin(8t):
Coeficiente de \cos(8t):
-A\cdot 8^2 + 2\cdot B\cdot 8 + 64A = 4.
Coeficiente de \sin(8t):
- B\cdot 8^2 - 2\cdot A\cdot 8 + 64B = 0.

Passo 6

Resolver o sistema para A e B. Mostrar simplificações numéricas (não pule etapas).
  • Note que 8^2=64. Assim 64-8^2=0. Substituindo:
    • Equação da \cos: A(64-64)+2\cdot 8\cdot B =4 16 B =4 B=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}.
    • Equação da \sin: B(64-64)-2\cdot 8\cdot A =0 -16 A=0 A=0.
  • Portanto a solução particular é
x_p(t)=0\cdot\cos(8t)+\dfrac{1}{4}\sin(8t)=\dfrac{1}{4}\sin(8t)\\ \text{ft}.

Passo 7

Interpretar a solução em forma de amplitude e fase (forma alternativa, útil na prova).
  • Podemos escrever x_p também como uma única amplitude com defasagem:
x_p(t)=X\cos(8t-\varphi).
Aqui X=\dfrac{1}{4} e \varphi=\dfrac{\pi}{2}, porque \dfrac{1}{4}\sin(8t)=\dfrac{1}{4}\cos(8t-\tfrac{\pi}{2}).
  • Observação importante (insight prático): a frequência de excitação \omega=8 coincide com a frequência natural não amortecida \omega_n=\sqrt{k/m}=\sqrt{64}=8. Com amortecimento, porém, a resposta em regime estacionário não diverge; o amortecedor limita a amplitude e há defasagem de \tfrac{\pi}{2} quando k-m\omega^2=0.

Passo 8

Calcular a frequência de ressonância do sistema (derivação e número final). Mostrar onde vem a fórmula.
  • A amplitude da resposta para excitação de frequência \omega (para massa m) é
X(\omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}},
onde F_0 é a amplitude da força (aqui F_0=4). A frequência que maximiza X(\omega) minimiza o denominador
D(\omega)=(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2.
  • Para achar o máximo, derivamos D(\omega) e igualamos a zero (mostrando os passos):
\frac{dD}{d\omega}=2(k-m\omega^2)(-2m\omega)+2c^2\omega=0.
Dividindo por 2\omega (assumindo \omega>0):
-2m(k-m\omega^2)+c^2=0.
Isolando \omega^2:
2m^2\omega^2=2mk-c^2 \quad\Rightarrow\quad \omega^2=\dfrac{2mk-c^2}{2m^2}=\dfrac{k}{m}-\dfrac{c^2}{2m^2}.
  • Portanto a frequência de ressonância (frequência angular que dá amplitude máxima) é
\omega_r=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{c^2}{2m^2}}.
  • Substituindo os valores m=1,\\ k=64,\\ c=2:
\omega_r=\sqrt{64-\dfrac{2^2}{2}}=\sqrt{64-2}=\sqrt{62}\\ \text{rad/s}\approx 7,874\\ \text{rad/s}.
  • Se quiser a frequência em hertz (ciclos por segundo):
f_r=\dfrac{\omega_r}{2\pi}=\dfrac{\sqrt{62}}{2\pi}\approx 1,253\\ \text{Hz}.

Resposta

x_p(t)=\dfrac{1}{4}\sin(8t)\\ \text{ft}
\omega_r=\sqrt{62}\\ \text{rad/s}\approx 7,874\\ \text{rad/s} (ou f_r=\dfrac{\sqrt{62}}{2\pi}\approx 1,253\\ \text{Hz})

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