Um peso de 32 lb é preso a uma mola vertical, fazendo com que ela se estique por 6 polegadas para chegar ao repouso no equilíbrio. A constante de amortecimento para o sistema é 2 lb -s/pé. Uma força externa
lb é aplicada ao peso. Ache uma solução em regime estacionário para o sistema. Qual é sua frequência de ressonância?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informações dadas:
- Peso:
. - A mola estica
polegadas para o equilíbrio. (Note: in = ft.) - Constante de amortecimento:
. - Força externa:
.
- Peso:
- Perguntas:
- Encontrar uma solução em regime estacionário (ou seja, a resposta forçada permanente, depois que os transientes morreram).
- Qual é a frequência de ressonância do sistema?
Passo 2
Converter unidades e achar massa e constante da mola (sem pular etapas).
-
A gravidade no sistema de unidades empregado é
. A massa (em slugs) é dada por . Aqui cada passo foi mostrado: peso dividido pordá a massa. -
A mola, em repouso, tem força elástica igual ao peso:
. A elongação é polegadas ft, então -
O coeficiente de amortecimento já está dado como
.
Resumo numérico que vamos usar:
Passo 3
Escrever a equação do movimento e explicar cada termo.
- Para um sistema massa-mola-amortecedor vertical (convenção usual), a equação diferencial é
onde:
-
é o deslocamento vertical (positivo para baixo ou para cima conforme convenção; aqui só precisamos da resposta temporal), -
é a massa ( ), -
é o coeficiente de amortecimento ( ), -
é a constante elástica ( ), -
é a força externa ( ). - Substituindo os valores:
(Dividi tudo por
, por isso os coeficientes aparecem como estão.)
Passo 4
Definir “regime estacionário” e o método para achar a solução forçada permanente.
- Regime estacionário = solução particular que tem a mesma frequência da força externa; transientes (solução homogenea) morrem devido ao amortecimento.
- Para forçamento
tentamos uma solução particular da forma
onde
são constantes a determinar. Essa é uma técnica padrão: assumir uma combinação de cosseno e seno com a mesma frequência do forçamento.
Passo 5
Calcular as derivadas de
e substituir na ODE (mostrar cada conta).
- Derivadas com
:
- Substituindo em
:
- Agrupando os coeficientes de
e :
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
. Mostrar simplificações numéricas (não pule etapas).
-
Note que
. Assim . Substituindo: - Equação da
: → → . - Equação da
: → → .
- Equação da
-
Portanto a solução particular é
Passo 7
Interpretar a solução em forma de amplitude e fase (forma alternativa, útil na prova).
- Podemos escrever
também como uma única amplitude com defasagem:
Aqui
e
, porque
.
- Observação importante (insight prático): a frequência de excitação
coincide com a frequência natural não amortecida . Com amortecimento, porém, a resposta em regime estacionário não diverge; o amortecedor limita a amplitude e há defasagem de quando .
Passo 8
Calcular a frequência de ressonância do sistema (derivação e número final). Mostrar onde vem a fórmula.
- A amplitude da resposta para excitação de frequência
(para massa ) é
onde
é a amplitude da força (aqui
). A frequência que maximiza
minimiza o denominador
- Para achar o máximo, derivamos
e igualamos a zero (mostrando os passos):
Dividindo por
(assumindo
):
Isolando
:
- Portanto a frequência de ressonância (frequência angular que dá amplitude máxima) é
- Substituindo os valores
:
- Se quiser a frequência em hertz (ciclos por segundo):