Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(a) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+3, \text { se } x \leq 5 \\\\ 3 x-7, \text { se } x>5\end{array}\right. em x=5

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+3, & \text{se }x\le5,\\\\ 3x-7, & \text{se }x>5, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=5. Para isso, vamos usar que f é contínua em x=5 se, e somente se,
\lim_{x\to5^-}f(x)=\lim_{x\to5^+}f(x)=f(5).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda: como x<5 usamos o ramo f(x)=x+3, logo
\lim_{x\to5^-}f(x)=\lim_{x\to5^-}(x+3)=5+3=8.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita: para x>5 vale f(x)=3x-7, então
\lim_{x\to5^+}f(x)=\lim_{x\to5^+}(3x-7)=3\cdot5-7=15-7=8.

Passo 4

Agora avaliamos o valor da função em x=5. Como 5 cai no ramo x\le5, temos
f(5)=5+3=8.

Passo 5

Vemos que
\lim_{x\to5^-}f(x)=8,\quad \lim_{x\to5^+}f(x)=8,\quad f(5)=8,
portanto os dois limites laterais são iguais e coincidem com f(5). Logo, f é contínua em x=5.

Resposta

Sim, f é contínua em x=5.

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