Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(e) f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x^{2}}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 2, \text { se } x=0\end{array}\right. em x=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}},&\text{se }x\neq 0,\\\\ 2,&\text{se }x=0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em 0 se e somente se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to0}f(x). Para x\neq0 temos f(x)=1/x^{2}. Como x^{2} é sempre positivo e tende a 0 quando x\to0, o quociente \,1/x^{2}\, cresce sem limite. Logo,
\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.

Passo 3

O valor de f em 0 é f(0)=2, um número finito. Como o limite lateral \lim_{x\to0}f(x) não é um número finito (é +\infty), ele não pode ser igual a f(0). Portanto
\lim_{x\to0}f(x)\neq f(0).

Resposta

A função f não é contínua em x=0.

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