Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(f) f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{2 x+6}{x+3}, \text { se } x \neq-3 \\\\ 2, \text { se } x=-3\end{array}\right. em x=-3

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{2x+6}{x+3},&x\neq -3,\\[6pt] 2,&x=-3, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=-3. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em x_0 se
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).]

Passo 2

Para x\neq -3, simplificamos a expressão:
\frac{2x+6}{x+3} =\frac{2(x+3)}{x+3} =2.
Logo, sempre que x\neq -3 temos f(x)=2.

Passo 3

Como f(x)=2 num vizinhança de -3 (exceto no próprio ponto), o limite é
\lim_{x\to -3}f(x) =\lim_{x\to -3}2 =2.

Passo 4

O valor de f em x=-3 é dado como
f(-3)=2.
Portanto
\lim_{x\to -3}f(x)=2=f(-3).

Passo 5

Pelo critério de continuidade, como o limite coincide com o valor da função em -3, concluímos que f é contínua em x=-3.

Resposta

A função é contínua em x=-3.

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