Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(g) f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt[3]{5 x+7}, \text { se } x<4 \\\ x-1, \text { se } x>4\end{array} \quad\right. em x=4

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{5x+7},&x<4,\\\ x-1,&x>4, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=4. Para isso precisamos (1) calcular os limites laterais em x=4 e (2) comparar com o valor f(4).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to4^-}f(x) =\lim_{x\to4^-}\sqrt[3]{5x+7} =\sqrt[3]{5\cdot4+7} =\sqrt[3]{27} =3.

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to4^+}f(x) =\lim_{x\to4^+}(x-1) =4-1 =3.

Passo 4

Como
\lim_{x\to4^-}f(x)=3 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to4^+}f(x)=3,
o limite \lim_{x\to4}f(x) existe e vale 3.

Passo 5

Agora, para haver continuidade em x=4, é preciso que f(4) exista e seja igual a 3. Mas a definição de f não atribui nenhum valor em x=4. Logo f(4) não existe, e portanto f não é contínua em x=4.

Resposta

A função não é contínua em x=4.

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