Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(h) f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-25}{x-5}, \text { se } x<5 \\\\ 10, \text { se } x=5 \\\ \frac{10 x-50}{x-5}, \text { se } x>5\end{array}\right. em x=5

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \frac{x^{2}-25}{x-5}, & x<5,\\\\ 10, & x=5,\\\ \frac{10x-50}{x-5}, & x>5, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em x=5. Para isso, vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em x=5 se
  1. \displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x) existem e são iguais;
  2. esse valor comum coincide com f(5).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Para x<5,
\frac{x^{2}-25}{x-5} =\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} =x+5,
então
\lim_{x\to5^-}f(x) =\lim_{x\to5^-}(x+5) =5+5 =10.

Passo 3

Calcular o limite pela direita. Para x>5,
\frac{10x-50}{x-5} =\frac{10\,(x-5)}{x-5} =10,
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\lim_{x\to5^+}f(x) =10.

Passo 4

Comparando, temos \displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x)=10 e \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x)=10, e o valor da função em 5 é
f(5)=10.
Como o limite comum é igual a f(5), concluímos que f é contínua em x=5.

Resposta

A função é contínua em x=5.

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