Exercício 5: Usando as propriedades dos limites, diga se as funções abaixo são contínuas nos pontos dados.
(d) f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x, \text { se } x<0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \\\\ 2^{3 x}-1, \text { se } x>0\end{array}\right. em x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} \sin x, &\text{se }x<0,\\\\ 0, &\text{se }x=0,\\\\ 2^{3x}-1,&\text{se }x>0 \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0. Para isso, precisamos checar se
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =f(0).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\sin x =\sin(0) =0.

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\bigl(2^{3x}-1\bigr) =2^{3\cdot0}-1 =1-1 =0.

Passo 4

Comparando os limites com o valor da função em 0:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =0 \quad\text{e}\quad f(0)=0.
Como ambos os limites laterais coincidem entre si e valem f(0), a função é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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