Exercício 6:
Determine o valor de m para que a função abaixo seja contínua em x=2.
f(x)=\left\{\begin{array}{c} 12-x^{3}, \text { se } x<2 \\\ m, \text { se } x=2 \\\ \frac{x^{2}-4}{x-2}, \text { se } x>2 \end{array}\right.
m=4.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m\) que torna a função \[f(x)=\begin{cases} 12 - x^{3}, & \text{se } x<2,\\\ m, & \text{se } x=2,\\\ \dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & \text{se } x>2 \end{cases}
contínua em x=2\]. Isso envolve conceito de continuidade: a função é contínua em \(x=2 se, e somente se,
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^+}f(x) = f(2).

Passo 2

Calculamos o limite à esquerda, usando o ramo 12 - x^3. Como é uma função polinomial, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x) =12 - 2^{3} =12 - 8 =4.

Passo 3

Agora o limite à direita vem do ramo \frac{x^{2}-4}{x-2}. Note que
\frac{x^{2}-4}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2, \quad x\neq2,
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\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}(x+2) =2+2 =4.

Passo 4

Para f ser contínua em x=2, precisamos que
f(2)=m
seja igual a ambos os limites, que valem 4. Portanto m=4.

Resposta

m=4

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