Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (
) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
, então
. Em particular
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado
, se
então
. Em particular, aplicando essa afirmação a
, segue que
. Para isso, usaremos as propriedades de corpo ordenado:
- Tricotomia: exatamente uma das alternativas é verdadeira:
, ou . - Se
e , então . - Se
, então .
Passo 2
Pela tricotomia, como
, temos dois casos possíveis:
-
. -
.
Passo 3
Se
, então aplicando a propriedade de corpo ordenado que diz “produto de dois positivos é positivo”, obtemos
Passo 4
Se
, então
. Logo, novamente pelo fato de que produto de dois positivos é positivo,
Passo 5
Nos dois casos
ou
concluímos que
. Portanto, para qualquer
vale
Passo 6
Em particular, tomando
, como
, segue imediatamente
Resposta
Foi provado que, em
, se
então
. Em particular,
.