Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam ( \mathbb{R},+, \cdot,< ) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
S x \neq 0, então x^{2}>0. Em particular 1>0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado (\mathbb{R}, +,\cdot,<), se x \neq 0 então x^2>0. Em particular, aplicando essa afirmação a x=1, segue que 1>0. Para isso, usaremos as propriedades de corpo ordenado:
  1. Tricotomia: exatamente uma das alternativas é verdadeira: x>0, x=0 ou x<0.
  2. Se a>0 e b>0, então a\cdot b>0.
  3. Se a<0, então -a>0.

Passo 2

Pela tricotomia, como x\neq0, temos dois casos possíveis:
  1. x>0.
  2. x<0.

Passo 3

Se x>0, então aplicando a propriedade de corpo ordenado que diz “produto de dois positivos é positivo”, obtemos
x^2 = x \cdot x >0.

Passo 4

Se x<0, então -x>0. Logo, novamente pelo fato de que produto de dois positivos é positivo,
x^2 = x\cdot x = (-x)\cdot(-x) >0.

Passo 5

Nos dois casos x>0 ou x<0 concluímos que x^2>0. Portanto, para qualquer x\neq0 vale
x^2>0.

Passo 6

Em particular, tomando x=1, como 1\neq0, segue imediatamente
1^2>0 \quad\Longrightarrow\quad 1>0.

Resposta

Foi provado que, em (\mathbb{R},+, \cdot,<), se x\neq0 então x^2>0. Em particular, 1>0.

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