Derive as funções abaixo.
f(x)=\frac{e^{x} \operatorname{sec} (x)}{3^{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{e^{x}\operatorname{sec}(x)}{3^{x}}.
O conteúdo aqui é derivação de funções compostas e produto de três fatores: e^{x}, \operatorname{sec}(x) e 3^{-x}. Vamos usar a regra do produto e as derivadas conhecidas de e^{x}, \operatorname{sec}(x) e de a^{x}.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=e^{x}\,\operatorname{sec}(x)\,3^{-x}
de modo a aplicar a regra do produto em três fatores u(x)=e^{x}, v(x)=\operatorname{sec}(x) e w(x)=3^{-x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x),
w'(x)=\frac{d}{dx}3^{-x}=3^{-x}\cdot(-\ln3).

Passo 4

Pela regra do produto em três fatores,
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).
Substituindo,
f'(x)=e^{x}\operatorname{sec}(x)\,3^{-x} +\;e^{x}\bigl[\operatorname{sec}(x)\tan(x)\bigr]3^{-x} +\;e^{x}\operatorname{sec}(x)\bigl[-\ln3\,3^{-x}\bigr].
Fatorando e^{x}\operatorname{sec}(x)\,3^{-x}, fica
f'(x)=e^{x}\operatorname{sec}(x)\,3^{-x}\Bigl[1+\tan(x)-\ln3\Bigr].

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}\operatorname{sec}(x)}{3^{x}}\bigl(1+\tan(x)-\ln3\bigr).

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