Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (
) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Se
e
, então
;
Se
Passo 1
O enunciado dá que
\ e
\ e pede para provar que
. Vamos usar apenas as propriedades de corpo ordenado: adição, multiplicação, ordem e a distributividade.
Passo 2
Da desigualdade
\ podemos somar
em ambos os lados (propriedade de ordem sob adição):
Como
, isso dá
ou seja,
.
Passo 3
Agora temos
e
. Como num corpo ordenado podemos multiplicar uma desigualdade por um número positivo sem trocar o sentido, multiplicamos
por
:
Passo 4
Usando a distributividade e o fato de
, reescrevemos
Portanto a desigualdade do passo anterior fica
Passo 5
Finalmente, aplicamos a propriedade de corpo ordenado que diz que inverter o sinal numa desigualdade também inverte o sentido:
Como
e
, concluímos
Resposta
Portanto, se
\ e
\ então
, como queria demonstrar.