Exercício 0.5 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam ( \mathbb{R},+, \cdot,< ) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
Se x<0 e y<z, então x y>x z;

Passo 1

O enunciado dá que \;x<0\ e \;y<z\ e pede para provar que \;x\,y>x\,z. Vamos usar apenas as propriedades de corpo ordenado: adição, multiplicação, ordem e a distributividade.

Passo 2

Da desigualdade \;x<0\ podemos somar -x em ambos os lados (propriedade de ordem sob adição):
x + (-x) < 0 + (-x).
Como x+(-x)=0, isso dá
0 < -x,
ou seja, -x>0.

Passo 3

Agora temos -x>0 e y<z. Como num corpo ordenado podemos multiplicar uma desigualdade por um número positivo sem trocar o sentido, multiplicamos y<z por -x:
(-x)\,y < (-x)\,z.

Passo 4

Usando a distributividade e o fato de -(x\,y)=(-x)\,y, reescrevemos
(-x)\,y = -(x\,y), \qquad (-x)\,z = -(x\,z).
Portanto a desigualdade do passo anterior fica
-(x\,y) < -(x\,z).

Passo 5

Finalmente, aplicamos a propriedade de corpo ordenado que diz que inverter o sinal numa desigualdade também inverte o sentido:
-(x\,y) < -(x\,z) \quad\Longrightarrow\quad -(-(x\,y)) > -(-(x\,z)).
Como -(-(x\,y))=x\,y e -(-(x\,z))=x\,z, concluímos
x\,y > x\,z.

Resposta

Portanto, se \;x<0\ e \;y<z\ então \;x\,y>x\,z, como queria demonstrar.

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