Exercício 1.1 Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=e^{x / y}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x/y} e pede as derivadas parciais em relação a x e em relação a y.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f(x,y)=e^{x/y}.
  • Devemos encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Observação sobre o domínio: a expressão x/y exige y\neq 0. Então só faz sentido avaliar/derivar quando y\neq 0.

Passo 2

O que significa derivada parcial aqui (explicação didática e intuitiva):
  • Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} nós imaginamos variar x e manter y fixo (constante). Assim tratamos y como uma constante numérica qualquer.
  • Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} nós imaginamos variar y e manter x fixo (constante). Assim tratamos x como uma constante numérica qualquer.
Fórmula útil (regra que vamos usar, explicada):
  • Se f(x,y)=e^{u(x,y)}, onde u(x,y) é alguma função interna, então a derivada parcial de f é obtida pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x} e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y} e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Explicação dessa fórmula: a derivada de e^u em relação a u é e^u, e daí multiplicamos pela derivada de u em relação à variável que estamos usando (cadeia).
No nosso caso tomamos u(x,y)=\dfrac{x}{y}. Então primeiro vamos encontrar \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} onde u(x,y)=\dfrac{x}{y}.
Método prático (mais simples que aplicar diretamente regra do quociente): escrevemos
u(x,y)=x\,y^{-1}.
Aqui y^{-1} é apenas um número (porque em \partial/\partial x tratamos y como constante). Assim ao derivar em relação a x temos que x é a única parte que varia e y^{-1} é um multiplicador constante. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Comentário: esse é um resultado muito direto: a derivada de x (com y constante) é 1, então sobra 1\cdot y^{-1}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Usando a fórmula do Passo 2 com u(x,y)=x/y e o resultado do Passo 3,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = e^{x/y}\cdot \frac{1}{y}.
Podemos escrever de forma mais arrumada:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}\,e^{x/y}.}
Lembre-se do domínio: essa expressão é válida quando y\neq 0.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} onde u(x,y)=\dfrac{x}{y}.
De novo usamos u(x,y)=x\,y^{-1}. Agora derivamos em relação a y, lembrando que x é tratado como constante. Aplicamos a regra do produto mínima: x (constante) vezes y^{-1} (função de y). Assim
\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot \frac{d}{dy}\big(y^{-1}\big).
Derivada de y^{-1} (regra de potência): \dfrac{d}{dy}y^{-1}=-1\cdot y^{-2}. Portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot (-1)\,y^{-2} = -\frac{x}{y^{2}}.
Observação alternativa (mesma conta): poderia-se usar a regra do quociente para \dfrac{x}{y} (com x constante) e obter o mesmo resultado.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usando o resultado do Passo 5 e a fórmula do Passo 2:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = e^{x/y}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right).
Escrevendo de forma arrumada:
\boxed{\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}\,e^{x/y}.}
Novamente válido para y\neq 0.

Passo 7

Resumo didático rápido (para decorar e aplicar na prova):
  • Primeiro identifique a “função externa” e^{(\cdot)} e a “função interna” u=\dfrac{x}{y}.
  • Derive a externa mantendo a interna (dá e^{u}) e multiplique pela derivada da interna com respeito à variável desejada.
  • Ao derivar x/y em relação a x trate y como constante: dá \dfrac{1}{y}.
  • Ao derivar x/y em relação a y trate x como constante: dá -\dfrac{x}{y^{2}}.
Pequeno exemplo numérico (checar método): se x=2 e y=1, então f(2,1)=e^{2}, \dfrac{\partial f}{\partial x}(2,1)=e^{2}, e \dfrac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-2e^{2}. Isso confirma as fórmulas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}\,e^{x/y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}\,e^{x/y}

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