Exercício 1.1 Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais em relação a
e em relação a
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - Devemos encontrar
e . - Observação sobre o domínio: a expressão
exige . Então só faz sentido avaliar/derivar quando .
Passo 2
O que significa derivada parcial aqui (explicação didática e intuitiva):
- Para calcular
nós imaginamos variar e manter fixo (constante). Assim tratamos como uma constante numérica qualquer. - Para calcular
nós imaginamos variar e manter fixo (constante). Assim tratamos como uma constante numérica qualquer.
Fórmula útil (regra que vamos usar, explicada):
- Se
, onde é alguma função interna, então a derivada parcial de é obtida pela regra da cadeia:
Explicação dessa fórmula: a derivada de
em relação a
é
, e daí multiplicamos pela derivada de
em relação à variável que estamos usando (cadeia).
No nosso caso tomamos
. Então primeiro vamos encontrar
e
.
Passo 3
Cálculo de
onde
.
Método prático (mais simples que aplicar diretamente regra do quociente): escrevemos
Aqui
é apenas um número (porque em
tratamos
como constante). Assim ao derivar em relação a
temos que
é a única parte que varia e
é um multiplicador constante. Logo
Comentário: esse é um resultado muito direto: a derivada de
(com
constante) é
, então sobra
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para obter
.
Usando a fórmula do Passo 2 com
e o resultado do Passo 3,
Podemos escrever de forma mais arrumada:
Lembre-se do domínio: essa expressão é válida quando
.
Passo 5
Cálculo de
onde
.
De novo usamos
. Agora derivamos em relação a
, lembrando que
é tratado como constante. Aplicamos a regra do produto mínima:
(constante) vezes
(função de
). Assim
Derivada de
(regra de potência):
. Portanto
Observação alternativa (mesma conta): poderia-se usar a regra do quociente para
(com
constante) e obter o mesmo resultado.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para obter
.
Usando o resultado do Passo 5 e a fórmula do Passo 2:
Escrevendo de forma arrumada:
Novamente válido para
.
Passo 7
Resumo didático rápido (para decorar e aplicar na prova):
- Primeiro identifique a “função externa”
e a “função interna” . - Derive a externa mantendo a interna (dá
) e multiplique pela derivada da interna com respeito à variável desejada. - Ao derivar
em relação a trate como constante: dá . - Ao derivar
em relação a trate como constante: dá .
Pequeno exemplo numérico (checar método): se
e
, então
,
, e
. Isso confirma as fórmulas.