Passo 1
O enunciado pede a primitiva (antiderivada) da função
, ou seja:
Informações relevantes dadas:
é a função arco-tangente (vou escrever como
); a integral é indefinida, então devemos apresentar uma família de primitivais com constante de integração
.
A missão é encontrar uma expressão fechada (uma antiderivada) para .
A missão é encontrar uma expressão fechada (uma antiderivada) para
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): há duas rotas óbvias que aparecem ao pensar nessa integral.
- Uma é integrar por partes com
e . Isso transforma a integral numa que envolve , cuja primitiva não é expressa por funções elementares simples (aparece a integral de se fizermos ). - Outra rota é usar a série de potências de
e integrar termo a termo; essa soma leva a uma série cuja soma é relacionada à função dilogarítmica .
Vou seguir a rota da série / dilogarítmo porque ela produz uma expressão clássica e verificável para a primitiva. Explico tudo sobre a série e sobreao longo do caminho.
Passo 3
Escrevendo a série de
. A série de Taylor centrada em
para
(válida para
, com convergência uniforme em intervalos fechados) é:
Dividindo por
obtemos a série para o integrando:
Como essa série converge uniformemente em compactos dentro do raio de convergência, podemos integrar termo a termo:
Agora temos a primitiva como uma série:
A próxima etapa é reconhecer essa soma como uma função conhecida (dilogaritmo).
Passo 4
Definição e manipulação com a função dilogarítmica. A função dilogarítmica (ou polilogaritmo de ordem
) é definida por série:
válida para
(com uma continuação analítica além disso). Observação útil: a combinação
soma apenas os termos de índice ímpar, porque os termos pares se cancelam. De fato:
Escolhemos agora
(onde
é a unidade imaginária). Observe que
Logo
Multiplicando por
, obtemos a expressão mais compacta:
Passo 5
Concluindo a primitiva. Substituindo o resultado do passo anterior na série para a primitiva (passo 3):
Portanto uma antiderivada é
Passo 6
Verificação diferencial curta (para ganhar confiança): a derivada de
em
é
Aplicando a cadeia para
e
e fazendo as contas, obtém-se após simplificação a identidade
pois aparece o logaritmo
. Assim a expressão do passo anterior é de fato uma primitiva correta.